הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/12.4.11"
מ (←משפט 9 {{הערה|(מבחן דיריכלה)}}) |
(←דוגמאות: תיקון) |
||
שורה 14: | שורה 14: | ||
==דוגמאות== | ==דוגמאות== | ||
* <math>\int\limits_2^\infty\frac{\sin(x)}{x^2}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר? נראה התכנסות ע"י הוכחת התכנסות בהחלט: <math>0\le\left|\frac{\sin(x)}{x^2}\right|\le\frac1{x^2}</math> ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה, <math>\int\limits_2^\infty\left|\frac{\sin(x)}{x^2}\right|\mathrm dx</math> מתכנס. {{משל}} | * <math>\int\limits_2^\infty\frac{\sin(x)}{x^2}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר? נראה התכנסות ע"י הוכחת התכנסות בהחלט: <math>0\le\left|\frac{\sin(x)}{x^2}\right|\le\frac1{x^2}</math> ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה, <math>\int\limits_2^\infty\left|\frac{\sin(x)}{x^2}\right|\mathrm dx</math> מתכנס. {{משל}} | ||
− | * נבנה דוגמאות של f מוגדרת ורציפה ב-<math>[0,\infty)</math> כך ש-<math>\int\limits_0^\infty f</math> מתכנס אעפ"י ש-<math>\sum_{n=0}^\infty f(n)</math>, ולהיפך: <math>\sum_{n=0}^\infty f(n)</math> מתכנס ואילו <math>\int\limits_0^\infty f</math> מתבדר. ובכן אם <math>f(x)=\sin(\pi x)</math> אז <math>\int\limits_0^\infty f=\lim_{R\to\infty}\int\limits_0^R\sin(\pi x)\mathrm dx=\lim_{R\to\infty}\left[\frac{-\cos(\pi x)}\pi\right]_{x=0}^R</math> ואין גבול, לכן האינטגרל מתבדר. לעומת זאת, <math>\sum_{n=0}^\infty\sin(\pi n)=\sum_{n=0}^\infty 0=0</math>, שבוודאי מתכנס. לצד השני נגדיר פונקציה f ע"י הגרף [[קובץ:גרף | + | * נבנה דוגמאות של f מוגדרת ורציפה ב-<math>[0,\infty)</math> כך ש-<math>\int\limits_0^\infty f</math> מתכנס אעפ"י ש-<math>\sum_{n=0}^\infty f(n)</math>, ולהיפך: <math>\sum_{n=0}^\infty f(n)</math> מתכנס ואילו <math>\int\limits_0^\infty f</math> מתבדר. ובכן אם <math>f(x)=\sin(\pi x)</math> אז <math>\int\limits_0^\infty f=\lim_{R\to\infty}\int\limits_0^R\sin(\pi x)\mathrm dx=\lim_{R\to\infty}\left[\frac{-\cos(\pi x)}\pi\right]_{x=0}^R</math> ואין גבול, לכן האינטגרל מתבדר. לעומת זאת, <math>\sum_{n=0}^\infty\sin(\pi n)=\sum_{n=0}^\infty 0=0</math>, שבוודאי מתכנס. לצד השני נגדיר פונקציה f ע"י הגרף [[קובץ:גרף פונקציית משולשים 2.png|600px]]<br />אזי <math>\sum_{n=0}^\infty f(n)=\sum_{n=0}^\infty 1=\infty</math> - מתבדר. לעומת זאת, {{left|<math>\int\limits_0^\infty f=</math> השטח שמתחת לגרף <math>=\frac12\cdot\frac12+\lim_{n\to\infty}\frac12\left(\frac12+\frac14+\frac18+\dots+\frac1{2^n}\right)=\frac14+\frac12=\frac34</math>}}{{משל}} |
==משפט 9 {{הערה|(מבחן דיריכלה)}}== | ==משפט 9 {{הערה|(מבחן דיריכלה)}}== |
גרסה מ־16:59, 6 במאי 2011
את משפט 7 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-12.4.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. נאמר ש- מתכנס בהחלט אם מתכנס. אם האינטגרל מתכנס לא בהחלט נאמר שהוא מתכנס בתנאי.
משפט 8
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. אם מתכנס אז מתכנס. במילים: אם f אינטגרבילית בהחלט בקטע אז f אינטגרבילית בקטע.
הוכחה
לפי המסקנה למשפט 7 מספיק להוכיח ש- מקיים את תנאי קושי. לצורך זה יהי נתון. כיוון ש- מתכנס הוא מקיים את תנאי קושי וקיים כך שאם אז . נובע מיד ש-. קיימנו את תנאי קושי ל- ולכן הוא מתכנס.
גישה אחרת: נגדיר וכן . לכן אי-שליליות. קל להראות שלכל x, וכן (גאומטרית: השטח שמעל ציר ה-x ו- השטח שמתחת).
כעת אם נתון ש- מתכנס, מבחן ההשוואה אומר שכיוון ש- שני האינטגרלים מתכנסים ונובע ממשפט 1 ש-, כלומר מתכנס.
דוגמאות
- - מתכנס או מתבדר? נראה התכנסות ע"י הוכחת התכנסות בהחלט: ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה, מתכנס.
- נבנה דוגמאות של f מוגדרת ורציפה ב- כך ש- מתכנס אעפ"י ש-, ולהיפך: מתכנס ואילו מתבדר. ובכן אם אז ואין גבול, לכן האינטגרל מתבדר. לעומת זאת, , שבוודאי מתכנס. לצד השני נגדיר פונקציה f ע"י הגרף
אזי - מתבדר. לעומת זאת,השטח שמתחת לגרף
משפט 9 (מבחן דיריכלה)
נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב- ונניח שהאינטגרלים החלקיים חסומים כאשר (ז"א קיים כך ש-). עוד נניח ש-g מוגדרת, מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב- ו- אזי מתכנס.
הוכחה
לכל נגדיר . כיוון ש-f רציפה המשפט היסודי אומר ש- לכל . יתר על כן, הנתונים שלנו גוררים ש-. כעת . נראה שכל אחד מהמחוברים באגף ימין הם גבולות מתכנסים. ובכן . נותר להוכיח שקיים , ז"א צריך להוכיח שהאינטגרל מתכנס. עפ"י משפט 8 מספיק להראות שהאינטגרל הזה מתכנס בהחלט. נתון ש-g מונוטונית ולכן לכל או לכל . נניח ש- (ההוכחה במקרה השני דומה). יוצא שלכל מתקיים ושהאינטגרל של הוא כי נתון ש- לסיכום הראנו ש- מתכנס. ממבחן ההשוואה נסיק שמתכנס ולכן מתכנס . לכן קיים וסיימנו את ההוכחה.
דוגמאות
- נראה כי לכל האינטגרל מתכנס: נגדיר . מכאן נובע כי ל-f יש אינטגרלים חלקיים חסומים: . יתר על כן פונקציה מונוטונית יורדת ובעלת נגזרת רציפה בקטע ומתקיים . קיימנו את תנאי מבחן דיריכלה ולכן האינטגרל מתכנס.
- נוכיח ש- אינו מתכנס בהחלט, ולמעשה : לכל , מכיוון ש-, . ע"פ מבחן ההשוואה מספיק להראות ש- מתבדר. נעזר בזהות להראות ש-. קל להראות (בעזרת מבחן דיריכלה) כי מתכנס. כמו כן ידוע לנו כי . עתה נניח בשלילה ש- מתכנס. לפי משפט 1 , אבל זהו סכום של אינטגרלים מתכנסים השווה לאינטגרל שמתבדר, בסתירה.
כהשלמה לאינפי 1 נביא את משפט דיריכלה להתכנסות טורים.
משפט 10 (משפט דיריכלה לטורים)
נניח שלטור יש סכומים חלקיים חסומים (כלומר ). עוד נניח ש- סדרה מונוטונית כך ש-. אז מתכנס.
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
הוכחה
לכל N מתקיים . נשאיף אזי . נותר להוכיח ש- מתכנס, ונעשה זאת ע"י כך שנראה שהוא מתכנס בהחלט.
נסמן c כ-1 אם יורדת ו- אחרת: | ||||||
הטור טלסקופי. | ||||||
כלומר הסכום מתכנס.
הערה
משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של משפט דיריכלה: נגדיר (ולכן הסכומים החלקיים חסומים). מכאן נובע שעבור מונוטונית יורדת שואפת לאפס הטור , שהוא טור לייבניץ, מתכנס.
דוגמה
נניח ש- יורדת לאפס ונראה שהטור מתכנס. נגדיר ולכן מספיק להראות שהסכומים החלקיים חסומים. נסתמך על זהות טריגונומטרית האומרת ש-. לפי זה לכל n מתקיים . לכן
הטור טלסקופי, לכן: | ||||||