<math>\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר?
נסמן <math>f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}</math>. לפונקציה יש נקודת אי -רציפות סליקה באפס כי <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x)}x\cdot\frac x\sqrt x\cdot\frac1{\sqrt{|x-\pi|}^3}=1\cdot0\cdot\frac1{\sqrt \pi^3}=0</math>. כמו כן יש סינגולריות נקודת אי-ראציפות ממין שני רק ב-<math>\pi</math> ולכן ונרשום: <math>I_1:=\int\limits_0^\pi f\ \and\ I_2:=\int\limits_\pi^{2\pi} f</math>.
f אי-שלילית בקטע <math>[0,\pi]</math>. לכן נגדיר <math>g(x):=\frac1\sqrt{x-\pi}</math> ונחשב <math>\lim_{x\to\pi^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\sqrt x(\pi-x)}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\pi-x}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\cos(x)}{-1}=\frac1\sqrt\pi\in\mathbb R</math> ולכן <math>I_1</math> מתכנס אם <math>\int\limits_0^\pi g</math> מתכנס, מה שאכן מתקיים: <math>\int\limits_0^\pi g=\int\limits_0^\pi(\pi-x)^{-1/2}\mathrm dx=\left[-2\sqrt{\pi-x}\right]_{x=0}^\pi=2\sqrt\pi</math>. באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות <math>I_2</math> (השוואה עם <math>\frac{-1}\sqrt{x-\pi}</math>). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס. {{משל}}
# <math>\forall n\in\mathbb N:\ f_n(x)=x^n</math>. זאת סדרת פונקציות על <math>\mathbb R</math> ומתקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&|x|<1\\1&x=1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}</math>. לפיכך תחום ההתכנסות הוא הקטע <math>J=(-1,1]</math>. נשים לב כי יש לפונקציה הגבולית נקודת אי-רציפות ב-<math>x=1</math> אעפ"י שכל ה-<math>f_n</math> רציפות בנקודה זו.
# נחשב את הפונקציה הגבולית עבור <math>f_n(x)=\frac{n^2x}{1+(nx)^2}</math>. עבור <math>x=0</math> מתקיים <math>\forall n:\ f_n(0)=0</math>. עבור <math>x\ne0</math> נקבל <math>\lim_{n\to\infty}\frac{n^2x}{1+(nx)^2}=\lim\frac x{\frac1{n^2}+x^2}=\frac1x</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\begin{cases}0&x=0\\\frac1x&x\ne0\end{cases}</math>.
# הטור הנדסי ההנדסי <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> שווה ל-<math>\begin{cases}\frac1{1-x}&|x|<1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}</math>(לפי נוסחת הסכום של טורים הנדסיים). תחום ההתכנסות הוא <math>(-1,1)</math>.# נבדוק למה שווה הטור <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n</math> עבור <math>|x|<1</math>:{{left|<math>\begin{align}\sum_{n=1}^\infty nx^n&=\left(x+x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^3+\dots\right)+\dots\\&=\frac x{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\dots\\&=\frac x{1-x}\sum_{n=0}^\infty x^n\\&=\frac x{(1-x)^2}\end{align}</math>}} {{משל}}<br/>''גישה אחרת (מבט פונקציונלי):'' נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math>. אם יש צדק בעולם <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}</math> ולכן <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n=x\cdot S'(x)=x\cdot\frac1{(1-x)^2}</math>, אלא שאנו זקוקים למשפט כדי להצדיק את גזירת הטור איבר-איבר אינסוף פעמים (כלומר משפט האומר ש-<math>\left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)</math>), ועוד לא ולא הוכחנו כזה דבר (אך נעיר שזה שעבור הטור הזה זה נכון).
# נגדיר <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}\sin\left(n^2x\right)\frac1n=0</math>. אם יש צדק בעולם אז <math>f_n(x)\to0\implies f_n'(x)\to0'=0</math>, אלא שצדק נמצא בחלל ובפרט <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)</math> לא קיים לאף <math>x\in\mathbb R</math>.
# נתבונן בטור <math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}</math> ונוכיח כי <math>\forall x\in\mathbb R:\ S(x)=e^x</math>. נעשה זאת באמצעות טורי טיילור: <math>e^x=P_N(x)+R_N(x)</math> וכבר הראנו בקורס אינפי 1 ש-<math>\forall x\in\mathbb R:\ P_N(x)=\sum_{n=0}^N\frac{x^n}{n!}\ \and\ R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}=\frac{e^c}{(N+1)!}x^{N+1}</math> עבור c כלשהו בין 0 ל-x. כעת הטור הנתון מקיים <math>S(x)=\lim_{N\to\infty}P_N(x)=\lim_{N\to\infty} e^x-R_N(x)</math>. כדי להראות ש-<math>S(x)=e^x</math> נותר להוכיח ש-<math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0</math>. ובכן נקח <math>x\in\mathbb R</math> כרצונינו ונשים לב כי לכל N כך ש-<math>x<N\in\mathbb N</math> מתקיים {{left|<math>0\le|R_N(x)|\le\frac{e^{|x|}|x|^{N+1}}{(N+1)!}=e^{|x|}\frac{|x|}1\frac{|x|}2\frac{|x|}3\cdots\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor}\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor+1}\cdots\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor+(N+1-\lfloor x\rfloor)}\to0</math><br/> }}וכך הוכחנו בעזרת המבט הנקודתי. {{משל}} עתה ננסה להוכיח גם מנקודת מבט פונקציונלית: <math>S(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots</math> ולכן <math>S'(x)=0+1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots=S(x)</math>. נגדיר <math>f(x)=S(x)\cdot e^{-x}</math> ולכן <math>f'(x)=S'(x)e^{-x}+S(x)\left(-e^{-x}\right)=S(x)e^{-x}-S(x)e^{-x}=0</math> ומכאן ש-f פונקציה קבועה. נסמן <math>c=f(x)</math> ונובע ש-<math>S(x)=f(x)e^x=ce^x</math>. מהגדרת S נובע כי <math>S(0)=1</math> ז"א <math>1=S(0)=ce^0=c</math>, ולכן <math>S(x)=e^x</math> ובפרט <math>e=e^1=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}</math>. ו"הוכחנו" את הטענה (לצערנו גזרנו טור אינסופי איבר-איבר, אבל כאמור, אין לנו משפט שאומר שזה נכון).