88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6: הבדלים בין גרסאות בדף
| שורה 1: | שורה 1: | ||
==קואורדינטות== | ==קואורדינטות== | ||
נסביר את כל המושגים תוך כדי שימוש בדוגמא קבועה: <math>V=\mathbb{R}^2, S_{\mathbb{R}^2}=\{(1,0),(0,1)\},B=\{(1,1),(1,-1)\}</math>, מתקיים ששתי הקבוצות מהוות בסיס למרחב V. | נסביר את כל המושגים תוך כדי שימוש בדוגמא קבועה: <math>V=\mathbb{R}^2, S_{\mathbb{R}^2}=\{(1,0),(0,1)\},B=\{(1,1),(1,-1)\}</math>, מתקיים ששתי הקבוצות מהוות בסיס למרחב V. | ||
משפט: יהא V מ"ו מעל שדה F, יהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-V ויהי <math>v\in V</math> וקטור. אזי ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי לפי הבסיס B. כלומר, אם מתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי בהכרח <math>\forall i:a_i=b_i</math>. (קל להוכיח את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאלי, מקבלים צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים <math>a_i-b_i</math>.) | |||
הגדרה: יהיו V,B וv כמו במשפט. אזי '''וקטור הקואורדינטות''' של v לפי בסיס B, מסומן <math>[v]_B\in\mathbb{F}^n</math> מוגדר להיות <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> כאשר <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math> ההצגה הלינארית היחידה הקיימת לפי המשפט. | |||
'''חשוב לזכור''' <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> אם"ם <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math> | |||
גרסה מ־20:05, 29 ביולי 2011
קואורדינטות
נסביר את כל המושגים תוך כדי שימוש בדוגמא קבועה: [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^2, S_{\mathbb{R}^2}=\{(1,0),(0,1)\},B=\{(1,1),(1,-1)\} }[/math], מתקיים ששתי הקבוצות מהוות בסיס למרחב V.
משפט: יהא V מ"ו מעל שדה F, יהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס ל-V ויהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] וקטור. אזי ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי לפי הבסיס B. כלומר, אם מתקיים [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n=b_1v_1+...+b_nv_n }[/math] אזי בהכרח [math]\displaystyle{ \forall i:a_i=b_i }[/math]. (קל להוכיח את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאלי, מקבלים צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים [math]\displaystyle{ a_i-b_i }[/math].)
הגדרה: יהיו V,B וv כמו במשפט. אזי וקטור הקואורדינטות של v לפי בסיס B, מסומן [math]\displaystyle{ [v]_B\in\mathbb{F}^n }[/math] מוגדר להיות [math]\displaystyle{ [v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math] ההצגה הלינארית היחידה הקיימת לפי המשפט.
חשוב לזכור [math]\displaystyle{ [v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math]