הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6"
(←קואורדינטות) |
(←קואורדינטות) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
==קואורדינטות== | ==קואורדינטות== | ||
− | נסביר את כל המושגים תוך כדי שימוש בדוגמא קבועה: <math>V=\mathbb{R}^2, S_{\mathbb{R}^2}=\{(1,0),(0,1)\}, | + | נסביר את כל המושגים תוך כדי שימוש בדוגמא קבועה: <math>V=\mathbb{R}^2, S_{\mathbb{R}^2}=\{(1,0),(0,1)\},D=\{(1,1),(1,-1)\}</math>, מתקיים ששתי הקבוצות מהוות בסיס למרחב V. |
משפט: יהא V מ"ו מעל שדה F, יהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-V ויהי <math>v\in V</math> וקטור. אזי ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי לפי הבסיס B. כלומר, אם מתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי בהכרח <math>\forall i:a_i=b_i</math>. (קל להוכיח את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאלי, מקבלים צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים <math>a_i-b_i</math>.) | משפט: יהא V מ"ו מעל שדה F, יהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-V ויהי <math>v\in V</math> וקטור. אזי ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי לפי הבסיס B. כלומר, אם מתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי בהכרח <math>\forall i:a_i=b_i</math>. (קל להוכיח את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאלי, מקבלים צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים <math>a_i-b_i</math>.) | ||
שורה 8: | שורה 8: | ||
'''חשוב לזכור''' <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> אם"ם <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math> | '''חשוב לזכור''' <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> אם"ם <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math> | ||
+ | |||
+ | תרגיל קל אבל חשוב הוא להראות שלכל בסיס B מתקיים ש <math>v=0</math> אם"ם <math>[v]_B=0</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | הערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש '''בסיסים סטנדרטיים'''. הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {| border="1" align="center" style="text-align:center;" | ||
+ | |מרחב וקטורי | ||
+ | |בסיס סטנדרטי | ||
+ | |- | ||
+ | |<math>\mathbb{F}^n</math> | ||
+ | |<math>(1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)</math> | ||
+ | |- | ||
+ | |<math>\mathbb{F}^{m\times n}</math> | ||
+ | |<math> | ||
+ | \begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix}, | ||
+ | \begin{pmatrix}0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},..., | ||
+ | \begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | |- | ||
+ | |<math>\mathbb{F}_n[x]</math> | ||
+ | |<math>1,x,x^2,...,x^n</math> | ||
+ | |- | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | ===תרגיל=== | ||
+ | יהא V מ"ו ויהי B בסיס לו. יהיו <math>u_1,...,u_k\in V</math> וקטורים כלשהם. הוכח: | ||
+ | *<math>u_1,...,u_k</math> בת"ל אם"ם <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל | ||
+ | *<math>w\in span\{u_1,...,u_k\}</math> אם"ם <math>w\in span\{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}</math> | ||
+ | |||
+ | נוכיח תרגיל זה בהמשך, לאחר שנלמד על העתקות לינאריות. כעת נניח שהוא נכון ונתרכז בכלי החישובי המשמעותי שקיבלנו; כל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה בכל מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח <math>\mathbb{F}^n</math>. | ||
+ | |||
+ | ===דוגמא=== | ||
+ | האם הפולינומים <math>1+x^2,</math> |
גרסה מ־20:50, 29 ביולי 2011
קואורדינטות
נסביר את כל המושגים תוך כדי שימוש בדוגמא קבועה: , מתקיים ששתי הקבוצות מהוות בסיס למרחב V.
משפט: יהא V מ"ו מעל שדה F, יהי בסיס ל-V ויהי וקטור. אזי ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי לפי הבסיס B. כלומר, אם מתקיים אזי בהכרח . (קל להוכיח את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאלי, מקבלים צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים .)
הגדרה: יהיו V,B וv כמו במשפט. אזי וקטור הקואורדינטות של v לפי בסיס B, מסומן מוגדר להיות כאשר ההצגה הלינארית היחידה הקיימת לפי המשפט.
חשוב לזכור אם"ם
תרגיל קל אבל חשוב הוא להראות שלכל בסיס B מתקיים ש אם"ם .
הערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש בסיסים סטנדרטיים. הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם:
מרחב וקטורי | בסיס סטנדרטי |
תרגיל
יהא V מ"ו ויהי B בסיס לו. יהיו וקטורים כלשהם. הוכח:
- בת"ל אם"ם בת"ל
- אם"ם
נוכיח תרגיל זה בהמשך, לאחר שנלמד על העתקות לינאריות. כעת נניח שהוא נכון ונתרכז בכלי החישובי המשמעותי שקיבלנו; כל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה בכל מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח .
דוגמא
האם הפולינומים