88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6

קואורדינטות

משפט: יהא V מ"ו מעל שדה F, יהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס ל-V ויהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] וקטור. אזי ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי לפי הבסיס B. כלומר, אם מתקיים [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n=b_1v_1+...+b_nv_n }[/math] אזי בהכרח [math]\displaystyle{ \forall i:a_i=b_i }[/math]. (קל להוכיח את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאלי, מקבלים צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים [math]\displaystyle{ a_i-b_i }[/math].)

הגדרה: יהיו V,B וv כמו במשפט. אזי וקטור הקואורדינטות של v לפי בסיס B, מסומן [math]\displaystyle{ [v]_B\in\mathbb{F}^n }[/math] מוגדר להיות [math]\displaystyle{ [v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math] ההצגה הלינארית היחידה הקיימת לפי המשפט.

חשוב לזכור [math]\displaystyle{ [v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math]

תרגיל קל אבל חשוב הוא להראות שלכל בסיס B מתקיים ש [math]\displaystyle{ v=0 }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ [v]_B=0 }[/math].

הערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש בסיסים סטנדרטיים. הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם:

מרחב וקטורי	בסיס סטנדרטי
[math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math]	[math]\displaystyle{ (1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1) }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{m\times n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},..., \begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},..., \begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbb{F}_n[x] }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,x,x^2,...,x^n }[/math]

דוגמא. חשב את הקואורדינטות של הוקטור [math]\displaystyle{ v=1+2x-x^2 }[/math] לפי הבסיס הסטנדרטי S של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_3[x] }[/math]. למעשה הפולינום כמעט מוצג כצירוף לינארי של איברי הבסיס:

[math]\displaystyle{ v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 = 1\cdot 1 + 2\cdot x + (-1)\cdot x^2 + 0\cdot x^3 }[/math].

לפיכך [math]\displaystyle{ [v]_S=(1,2,-1,0) }[/math].

דוגמא. חשב את הקואורדינטות של הוקטור [math]\displaystyle{ (a,b,c) }[/math] לפי הבסיס הסטנדרטי S של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math]. קל לראות ש [math]\displaystyle{ [v]_S = (a,b,c) }[/math].

דוגמא. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^2,B=\{(1,1),(1,-1)\} }[/math] מצא את הקואורדינטות של הוקטור [math]\displaystyle{ v=(a,b) }[/math] לפי הבסיס B. במקרה הכינותי מראש-

[math]\displaystyle{ v=\frac{a+b}{2}\cdot (1,1)+\frac{a-b}{2}\cdot (1,-1) }[/math]

ולכן לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ [v]_B=(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2}) }[/math]

אנו רואים שאין זה קל למצוא את הקואורדינטות לפי בסיס כלשהו שאינו הסטנדרטי.

תרגיל

יהא V מ"ו ויהי B בסיס לו. יהיו [math]\displaystyle{ u_1,...,u_k\in V }[/math] וקטורים כלשהם. הוכח:

• [math]\displaystyle{ u_1,...,u_k }[/math] בת"ל אם"ם [math]\displaystyle{ [u_1]_B,...,[u_k]_B }[/math] בת"ל
• [math]\displaystyle{ w\in span\{u_1,...,u_k\} }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ w\in span\{[u_1]_B,...,[u_k]_B\} }[/math]

נוכיח תרגיל זה בהמשך, לאחר שנלמד על העתקות לינאריות. כעת נניח שהוא נכון ונתרכז בכלי החישובי המשמעותי שקיבלנו; כל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה בכל מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math].

דוגמא.

האם הפולינומים [math]\displaystyle{ v_1=1+x^2,v_2=1-x,v_3=x+x^2 }[/math] תלויים לינארית?

דבר ראשון, נעבור למרחב הקואורדינטות. מכיוון שבחירת הבסיס היא לשיקולנו, נבחר את הבסיס הסטנדרטי S של הפולינומים איתו קל לעבוד. מתקיים ש [math]\displaystyle{ [v_1]_S=(1,0,1),[v_2]_S=(1,-1,0),[v_3]=(0,1,1) }[/math]

הוכחנו בשיעור שעבר שוקטורים "רגילים" ת"ל אם"ם המטריצה שהם השורות שלה אינה הפיכה אם"ם הצורה המדורגת של המטריצה מכילה שורת אפסים. לכן, נשים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה ונדרג.

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ R_3-R_1,R_3+R_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} }[/math]

לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית. נסכם את התהליך:

אלגוריתם לבדיקת תלות לינארית בין וקטורים

1. הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
2. שים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה A
3. הבא את המטריצה לצורה מדורגת
4. אם באיזה שלב קיבלת שורת אפסים סימן שהוקטורים תלויים לינארית
5. אם הגעת לצורה מדורגת ללא שורת אפסים סימן שהוקטורים בלתי תלויים לינארית

דוגמא. האם המטריצה [math]\displaystyle{ v=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} }[/math] נפרשת על ידי המטריצות [math]\displaystyle{ v_1=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 10 & 10\end{pmatrix} }[/math] ? אם כן, הצג אותה כצירוף לינארי שלהן.

פתרון: נעבור דבר ראשון למרחב הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי [math]\displaystyle{ S=\Big\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\Big\} }[/math]

נקבל [math]\displaystyle{ [v]_S=(1,2,3,4),[v_1]_S=(1,1,0,0),[v_2]_S=(1,0,2,1),[v_3]_S=(2,2,10,10) }[/math].

למדנו בשיעור שעבר שוקטור b נפרש על ידי וקטורים מסויימים אם"ם קיים פתרון למערכת Ax=b כאשר A היא המטריצה שעמודותיה הם אותם וקטורים. הפתרון x הוא וקטורים הסקלרים מהצירוף הלינארי. לכן, אנו רוצים לדעת האם קיים פתרון למערכת ואם כן מהו:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 10\\ 0 & 1 & 10\end{pmatrix} x = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\4 \end{pmatrix} }[/math]

קל לפתור ולגלות ש [math]\displaystyle{ x=(1,-1,\frac{1}{2}) }[/math] מקיים את המערכת ולכן מתקיים [math]\displaystyle{ v=v_1-v_2+\frac{1}{2}v_3 }[/math]

נסכם:

אלגוריתם לחישוב צירוף לינארי

1. נתון וקטור b וקבוצת וקטורים. העבר את כולם לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
2. פתור את המערכת Ax=b כאשר עמודות A הינן וקטורי הקואורדינטות של קבוצת הוקטורים הפורשים
3. אם אין פתרון, b לא נפרש על ידי האחרים
4. אם קיים פתרון x אזי הוא מכיל את הסקלרים של הצירוף הלינארי בהתאם לסדר העמודות בA

מרחבי המטריצות

תהי מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math]. מגדירים שלושה מרחבים עיקריים:

• מרחב השורות של A. זהו המרחב הנפרש על ידי שורות המטריצה A. נסמן [math]\displaystyle{ R(A)=span\{R_1(A),...,R_m(A)\}\subseteq\mathbb{F}^n }[/math]
• מרחב העמודות של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן [math]\displaystyle{ C(A)=span\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq\mathbb{F}^m }[/math]
• מרחב השורות של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית Ax=0. נסמן [math]\displaystyle{ N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq\mathbb{F}^n }[/math]

משפט: לכל מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n=R(A)\oplus N(A) }[/math]

הגדרה: דרגת המטריצה A שווה למספר השורות בצורה המדורגת שלה השונות מאפס. מסומן rankA

משפט: [math]\displaystyle{ rankA=dimR(A)=dimC(A)=n-dimN(A) }[/math]. אלה שווים למספר המשתנים התלויים, ומימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.

דוגמא. מצא בסיס למרחב האפס של המטריצה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix} }[/math]