משפט בולצאנו-ויירשטראס: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "==משפט בולצאנו ויירשטראס לסדרות== לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת ==הוכחה==") |
(←הוכחה) |
||
שורה 3: | שורה 3: | ||
==הוכחה== | ==הוכחה== | ||
ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא יורדת, ו<math>b_n</math> מונוטונית לא עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף לאפס, כלומר <math>\lim_{n\rightarrow\infty}b_n-a_n =0</math>. | |||
אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math>.) | |||
נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\leq a_n \leq M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיוון שבסדרה ישנם אינסוף איברים, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף איברים מהסדרה. | |||
נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math>. '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב <math>I_2</math>. נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איברים. | |||
אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\subseteq I_2 \subseteq \cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות: | |||
*כל קטע מכיל אינסוף איברים מהסדרה <math>a_n</math> | |||
*כל קטע מוכל בקודמו | |||
*אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיוון שאורך הקטע הראשון הינו 2M אורך הקטע <math>I_n</math> שווה ל<math>\frac{M}{2^{n-2}}</math>. ברור שאורך הקטעים שואף לאפס לכן. | |||
לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל '''בכל''' הקטעים הללו, נקרא לה L. נוכיח כי L הינו גבול חלקי של <math>a_n</math> ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הינו קיום תת סדרה השואפת אליו). | |||
*יהי אפסילון גדול מאפס, רוצים להוכיח כי בסביבת אפסילון של L ישנם אינסוף איברים מהסדרה. | |||
*כיוון שאורך הקטעים שבנינו שואפים לאפס, יש קטע שאורכו קטן מאפסילון חלקי 2. | |||
*לפי ההגדרה של L מהלמה של קנטור, L מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה. | |||
*לכן בוודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת אפסילון של L. | |||
*אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף איברים מהסדרה בסביבת אפסילון של L. | |||
כפי שרצינו להוכיח. |
גרסה מ־20:44, 4 בנובמבר 2011
משפט בולצאנו ויירשטראס לסדרות
לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת
הוכחה
ראשית, נזכר בלמה של קנטור. יהי [math]\displaystyle{ \{I_n\} }[/math] אוסף של קטעים סגורים [math]\displaystyle{ I_n=[a_n,b_n] }[/math] כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית לא יורדת, ו[math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית לא עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף לאפס, כלומר [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}b_n-a_n =0 }[/math].
אזי קיימת נקודה יחידה השייכת לכל הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math].)
נביט כעת בסדרה חסומה [math]\displaystyle{ -M\leq a_n \leq M }[/math] (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיוון שבסדרה ישנם אינסוף איברים, הקטע [math]\displaystyle{ I_1:=[-M,M] }[/math] מכיל אינסוף איברים מהסדרה.
נביט כעת בשני חצאי הקטע [math]\displaystyle{ [-M,0],[0,M] }[/math]. בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים מהסדרה (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב [math]\displaystyle{ I_2 }[/math]. נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איברים.
אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים [math]\displaystyle{ I_1\subseteq I_2 \subseteq \cdots }[/math] המקיימת את התכונות הבאות:
- כל קטע מכיל אינסוף איברים מהסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math]
- כל קטע מוכל בקודמו
- אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיוון שאורך הקטע הראשון הינו 2M אורך הקטע [math]\displaystyle{ I_n }[/math] שווה ל[math]\displaystyle{ \frac{M}{2^{n-2}} }[/math]. ברור שאורך הקטעים שואף לאפס לכן.
לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל בכל הקטעים הללו, נקרא לה L. נוכיח כי L הינו גבול חלקי של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הינו קיום תת סדרה השואפת אליו).
- יהי אפסילון גדול מאפס, רוצים להוכיח כי בסביבת אפסילון של L ישנם אינסוף איברים מהסדרה.
- כיוון שאורך הקטעים שבנינו שואפים לאפס, יש קטע שאורכו קטן מאפסילון חלקי 2.
- לפי ההגדרה של L מהלמה של קנטור, L מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.
- לכן בוודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת אפסילון של L.
- אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף איברים מהסדרה בסביבת אפסילון של L.
כפי שרצינו להוכיח.