הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול עליון ותחתון"
(←הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות) |
(←גבול עליון וגבול תחתון) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]] | ||
+ | |||
==גבול עליון וגבול תחתון== | ==גבול עליון וגבול תחתון== | ||
למדנו על [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים|חסמים]] על מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת איברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת איברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה: | למדנו על [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים|חסמים]] על מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת איברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת איברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה: |
גרסה מ־23:38, 10 בנובמבר 2011
גבול עליון וגבול תחתון
למדנו על חסמים על מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת איברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת איברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה:
החסמים הם פלוס מינוס מאה, אך אין קשר בין מספרים אלה להתנהגות הסדרה באינסוף.
הגדרה.
נגדיר
כלומר, אנו לוקחים את החסם העליון של קבוצת איברי הסדרה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האיבר הבא מהסדרה. באופן טבעי, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק איבר.
אם כך, סדרת החסמים מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם הסדרה חסומה, לפי תרגיל מתקיים
נגדיר את הגבול העליון של הסדרה להיות
במילים בלתי מדוייקות, הגבול העליון הוא החסם העליון "באינסוף".
באופן דומה, הגבול התחתון הינו גבול החסמים התחתונים של קבוצות איברי הסדרה.
העשרה: סדרה הינה פונקציה מהטבעיים לקבוצה A, כלומר יחס חד ערכי ושלם . אם כך, אנו מגדירים
דוגמאות.
- נביט בסדרה . נבנה את סדרת החסמים :
ולכן הגבול העליון הינו
נביט כעת בסדרת החסמים :
ולכן הגבול התחתון הינו
- נביט בסדרה .
ולכן הגבול העליון הינו
ולכן הגבול התחתון הינו
הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות
משפט. לכל סדרה יש תת סדרה המתכנסת לגבול העליון שלה, ותת סדרה המתכנסת לגבול התחתון שלה.
לכן הגבול העליון הוא מקסימום מקבוצת הגבולות החלקיים, והגבול התחתון הוא מינימום מקבוצת הגבולות החלקיים.
משפט. גבול סדרה שווה L אם"ם הגבול העליון של הסדרה שווה לגבול התחתון של הסדרה שווה ל- L.