88-311 אלגברה מופשטת 3/ סמסטר א תשעב/תרגילים

תרגיל 1

נוסח התרגיל: תרגיל 1

יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 10.11.11.

אין צורך לפתור את שתי השאלות האחרונות (4 ו-5). הן כנראה תעבורנה לתרגיל הבא.

פיתרון: פיתרון תרגיל 1

תרגיל 2

נוסח התרגיל תרגיל 2

יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 17.11.11.

תיקון קל: בשאלה 3, הפולינום הוא [math]\displaystyle{ x^3+ax^2+bx+c }[/math] ולא [math]\displaystyle{ x^3+ax+bx+c }[/math].

תרגיל 3

נוסח התרגיל: תרגיל 3

יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 24.11.11.

תרגיל 4

נוסח התרגיל: תרגיל 4

יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 1.12.11. איחורים לא יתקבלו.

הבהרה: ב"חימום" אין צורך לפתור את התרגילים המופיעים בסיכום "שדות - תכונות בסיסיות".

תזכורת: בשיעור הזכרנו את הדברים הבאים. אפשר (וכנראה כדאי) להשתמש בהם:

• אם [math]\displaystyle{ F\subseteq K\subseteq L }[/math] שדות אז [math]\displaystyle{ [L:F] }[/math] מתחלק ב-[math]\displaystyle{ [K:F] }[/math]. (הסבר: זה נובע מ-[math]\displaystyle{ [L:K]\cdot[K:F]=[L:F] }[/math])
• בהנחות הנ"ל, אם [math]\displaystyle{ a\in L }[/math] אלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] אז [math]\displaystyle{ [K[a]:K]\leq [F[a]:F] }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ f(x)\in F[x] }[/math] פולינום ו-[math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_n }[/math] הם השורשים של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] בשדה גדול המכיל את [math]\displaystyle{ F }[/math] אז שדה הפיצול של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] (מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]) הוא [math]\displaystyle{ F[a_1,\ldots,a_n] }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ p }[/math] ראשוני, אז הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ \rho_p=\exp(2\pi i/p) }[/math] (שורש יחידה פרימיטיבי מסדר [math]\displaystyle{ p }[/math]) מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1 }[/math].