הבדלים בין גרסאות בדף "מבחן השורש של קושי"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים== יהי <math>\sum a_n</math> ט...") |
(←מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים) |
||
שורה 5: | שורה 5: | ||
יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי. אזי: | יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי. אזי: | ||
− | ::אם <math>\limsup a_n >1</math> הטור מתבדר | + | ::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} >1</math> הטור מתבדר |
− | ::אם <math>\limsup a_n <1</math> הטור מתכנס | + | ::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} <1</math> הטור מתכנס |
− | ::אם <math>\limsup a_n =1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה. | + | ::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה. |
+ | |||
+ | |||
+ | ===הוכחה=== | ||
+ | |||
+ | נניח כי <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =d>1</math>. נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math> | ||
+ | |||
+ | *לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\frac{d-1}{2}>1</math>. | ||
+ | |||
+ | *לכן <math>a_{n_k}>\Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k}</math> | ||
+ | |||
+ | *לכן <math>\lim a_{n_k}=\infty</math> | ||
+ | |||
+ | *לכן בפרט <math>a_n\not\rightarrow 0</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן הטור מתבדר. |
גרסה מ־09:46, 2 בפברואר 2012
מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים
יהי טור חיובי. אזי:
- אם הטור מתבדר
- אם הטור מתכנס
- אם לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
הוכחה
נניח כי . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
- לכן החל ממקום מסויים בסדרה, .
- לכן
- לכן
- לכן בפרט
ולכן הטור מתבדר.