הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
||
שורה 38: | שורה 38: | ||
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=f(x_{0})</math> . | <math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=f(x_{0})</math> . | ||
− | נעיר קודם כל כי מתקיים: <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x </math> | + | נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x </math> |
ולכן <math>\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0})</math>. | ולכן <math>\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0})</math>. | ||
גרסה מ־12:30, 28 במרץ 2012
תוכן עניינים
המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-. נגדיר גם: . אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב)לכל שבו רציפה, גזירה ו- .
ג) אם רציפה בכל , ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: .
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו- "קטן" כך ש-. לפי הגדרה: ולכן
. נתון ש-f חסומה, נגיד .
לכן מתקיים .
כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 . לכן:
ומכך נובע ש:
ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
.
סעיף ב'
כאן מניחים ש- רציפה בנקודה כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי קיימת ושווה ל- . נחזור לפונקציה . בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר , מתקיים בהכרח:
טענה נוכיח כי .
נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: ולכן .
כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
יהי . אזי קיים כך שאם אז
כיוון שהפונקציה חסומה ואינטגרבילית, נסמן את החסם העליון M ונגיד ע"פ סעיף 5 במשפט 1:
ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-, מכאן נובע .
סעיף ג'
ידוע כי רציפה על כל , ולכן ע"פ סעיף ב', פונקציה קדומה של . נתון גם כי פונקציה קדומה של , ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים עבור c כלשהו.
לכן:
ולכן בסך הכל :.