הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף א') |
||
שורה 14: | שורה 14: | ||
<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>. | <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt</math>. | ||
− | נתון ש-f חסומה, נגיד <math> | + | נתון ש-f חסומה, נגיד <math>f(x) \leq M </math>. |
לכן מתקיים <math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>. | לכן מתקיים <math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>. |
גרסה מ־15:06, 31 במרץ 2012
תוכן עניינים
המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-
. נגדיר גם:
. אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב)לכל שבו
רציפה,
גזירה ו-
.
ג) אם רציפה בכל
, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ:
.
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו-
"קטן" כך ש-
. לפי הגדרה:
ולכן
.
נתון ש-f חסומה, נגיד
.
לכן מתקיים .
כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:
ומכך נובע ש:
ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
.
סעיף ב'
כאן מניחים ש- רציפה בנקודה
כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי
קיימת ושווה ל-
. נחזור לפונקציה
.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר
, מתקיים בהכרח:
טענה נוכיח כי
.
נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1:
ולכן
.
כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
יהי . כיוון ש-f רציפה, קיים
כך שאם
אז
.כעת נניח
, לכן לכל t כזה:
כך ש-
.
מכאן ש-
אבל ולכן
.
ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-
, מכאן נובע
.
סעיף ג'
ידוע כי רציפה על כל
, ולכן ע"פ סעיף ב',
פונקציה קדומה של
. נתון גם כי
פונקציה קדומה של
, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים
עבור c כלשהו.
לכן:
ולכן בסך הכל :.