88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה2

שאלה 1

א

קבע לאילו ערכי x הטור הבא מתכנס ומצא את סכומו

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\Big(ln(1+\frac{1}{|x|})\Big)^n }[/math]

ב

קבע האם הטור הבא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:

[math]\displaystyle{ \sum\frac{(-1)^n}{ln(n!)} }[/math]

שאלה 2

א

תהי סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N_\epsilon }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N_\epsilon }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ 0\lt a_{n+1}-a_n\lt \epsilon }[/math]

הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת

ב

חשב את הגבול הבא

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x} }[/math]

רמז: [math]\displaystyle{ t=\frac{1}{x^2} }[/math]

שאלה 3

מצא ביטוי פולינומי (סופי) המקרב את המספרים הבאים לדיוק של 2 ספרות:

[math]\displaystyle{ \pi,ln(2) }[/math]

שאלה 4

תהי f פונקציה זוגית, הגזירה אינסוף פעמים

א

הוכח כי [math]\displaystyle{ f'(0)=0 }[/math]

ב

הוכח כי [math]\displaystyle{ f^{(2n+1)}(0)=0 }[/math] לכל n

שאלה 5

תהי f פונקציה גזירה בעלת נגזרת מונוטונית

א

הוכח/הפרך: אם f מונוטונית אזי [math]\displaystyle{ \forall x:f(x)\neq 0 }[/math]

ב

הוכח/הפרך: אם [math]\displaystyle{ \forall x:f(x)\neq 0 }[/math] אזי f מונוטונית