אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}f_n }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

שאלות

האם יש טעות בתרגיל 4ד?

בפונ' שבתרגיל 4ד' (בתרגיל שפורסם השבוע) המכנה והמונה שווים, מה שיוצא שצריך לעשות אינטגרל של 1dx פשוט. יכול להיות שיש שם טעות?

תשובה

כן, תודה. חסר שם פלוס. התרגיל יתוקן בערב.

שאלה

מבקשים ממני נקודות קיצון - האם אני יכול להסיק על סמך עליות וירידות של הפונקצייה את נק' הקיצון שלה? כלומר, יש לי פונקצייה שבדיעבד אני מגלה שהנגזרת בנקודה לא קיימת, אבל אני רואה את ההתנהגות של הנגזרת בשני צידיה. למה, בעצם, הייתי צריך לחשב את הנגזרת בנקודה שלה (גם אם היא כן הייתה קיימת)?

תשובה

קודם כל, צריך לדעת גם את הערך בנקודה. למשל, ניקח את הפונקציה |x| ונגדיר אותה להיות 1 באפס. אז הנקודה אפס הופכת להיות מקסימום במקום מינימום.

שנית, אם הנגזרת קיימת ושונה מאפס, מיד אתה יכול לומר שזו לא נקודת קיצון, לכן אתה מחשב את הנגזרת.

שאלות

א)ב1 להחשיב משולש עם שטח 0 כמשולש? ב)הקבוצה של תומר בסוף לא מגישה את תר' 4 נכון? תודה

תשובה

א. כבר שאלו את זה. צריך משולש ישר זוית שהצלעות שלו הם הצירים וקו ישר דרך נקודה מסוימת. נקודה בודדת פשוט לא עונה על התנאים האלה.

ב. לא יודע, ה תלוי בתומר תשובה - תומר : לגבי שאלה 4 - עם קבוצת יום ראשון "שלי" פתרנו מספר אינטגרלים בעזרת אינטגרציה בחלקים , ולכן ניתן לפתור את שאלה 4 . הקבוצה של המרצה רוני מיום שלישי לא ראתה תרגילים כנ"ל איתי ולכן לא צריכה לפתור את שאלת האינטגרלים .

תומר

שאלה

ב-1א אין מס' שהוא השטח המקסימלי.....זה אינסוף..... אם כן,מה עליי לכתוב?אין מס' שהוא שטח מקסימלי? תשובה - תומר : אם קיים שטח מקסימלי (מספרי ! ) יש לרשום מהו , אך אם אין מספר ממשי שהוא השטח המקסימלי (מסיבה שיש לנמק... ) - יש לרשום זאת .

תומר .

שאלה

מתי מגישים את תרגיל 3?

תשובה

מיד אחרי החופש

הלימודים (שלנו, למי שלומד בראשון ושלישי) יתחדשו בעצם ב-11.4? (החופש חל עד 6.4 כולל, ממה שהבנתי באתר של בר-אילן)

עושה רושם כזה

תרגיל 3 - 2

לגבי נקודות פיתול. ההגדרה בכלל לא מתייחסת לקיום של משיק בנקודת פיתול, אז אני לא מבין מדוע מתייחסים לכך.סה"כ צריכה להיות סביבה מימין/שמאל שבה הפונקציה קמורה/קעורה וסביבה מהצד השני בה מתקיים ההפך,כך שאין בדיוק התייחסות למשיק בנקודה הזאת. אם אפשר הבהרה לגבי זאת.

תשובה

סביבה מסביב לנקודה, בה הפונקציה קעורה או קמורה ביחס לנקודה, כלומר ביחס למשיק בנקודה. עדיין,למה צריך שיהיה משיק בנקודה הזאת (כלומר קיום נגזרת ראשונה בנקודה). ואם השיפוע של המשיק הוא אינסוף (משהו מהצורה a/0) או מינוס אינסוף אז זאת בהכרח לא נקודת פיתול?

שאלה- זוגיות ואי זוגיות

אם אני רוצה להראות שפונקציה מסוימת אינה זוגית ואינה אי זוגית, האם עלי להראות זאת ממש ע"י הצבת נקודות וסתירת הזוגיות והאי זוגיות, או שאני יכול פשוט להציב [math]\displaystyle{ f(-x) }[/math] ולהראות שאני לא מקבל לא את [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ולא את [math]\displaystyle{ -f(x) }[/math]?

=תשובה

לא מבין את ההבדל. פונקציה היא אינה זוגית אם קיימת נקודה אחת a בה [math]\displaystyle{ f(-a)\neq f(a) }[/math].

כמו כן, היא אינה אי זוגית אם קיימת נקודה b כך ש [math]\displaystyle{ f(-b)\neq -f(b) }[/math].

זו שלילה לוגית פשוטה להגדרה.

לא הבנת את השאלה שלי. הכוונה שלי הייתה האם עלי להצביע על נקודה שאינה מקיימת את הזוגיות/אי זוגיות ולהראות שהיא אינה מקיימת את זה, או להציב בפונקציה -X ולהראות שאני לא מקבל את הדרוש. כי בעצם יכול להיות שאחרי שאני מציב מינוס X יש דרך שאני לא רואה לפתח את הביטוי שהתקבל ולקבל שהפונקציה זוגית/אי זוגית. אז האם עלי להצביע על נקודה שסותרת את הזוגיות/אי זוגיות, או שאני יכול באופן כללי להציב מינוס X ולהראות שאני מקבל ביטוי שאינו [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] או [math]\displaystyle{ -f(x) }[/math]?

אתה חייב להבין שאין הבדל בין 2 השיטות. אני אסביר שיטתית:

• הצבת מינוס x וקיבלת ביטוי
• פיתחת את הביטוי הנ"ל והראת שהוא אינו [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] או [math]\displaystyle{ f(-x) }[/math]
• לפי הגדרה, אם הביטוי שקיבלת הוא אינו [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] כלומר קיימת נקודה בה הביטוי שהגעת אליו ו[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] שונים. מכיוון שפונקציות שוות אם"ם הן שוות בכל נקודה.

לסיכום, הניסוח לא משנה. קל יותר להראות סתירה על ידי מציאת נקודות a,b כפי שתארתי למעלה.

לדוגמא: [math]\displaystyle{ f(-3)=e^{-3}\neq -e^3=-f(3) }[/math] ולכן הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] אינה אי זוגית

הנקודה שלי הייתה שאחרי שהצבת [math]\displaystyle{ f(-x) }[/math] אין דרך לדעת שזה לא שווה ל [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] עד שלא הצבת איזשהו X וראית שמתקבלים ערכים שונים. השאלה שלי היא אם צריך להראות את ההצבה הזאת, או שמספיק לאמר שהגענו לשני ביטויים שונים, שבטוח קיים איזשהו X שאם מציבים אותו בשני הביטויים מקבלים ערכים שונים.

שום דבר לא בטוח עד שלא בודקים אותו. אם הגעת נגיד לביטויים סינוס וקוסינוס ניתן לאמר שהם שונים כי זה ידוע שיש נקודות שתציב שיתנו תוצאות שונות. אם הגעת לביטויים לא מוכרים אתה חייב להציב.

שאלה

אם פונקציה מוגדרת לכל X, אז בוודאות אין לה אסימפטוטה אנכית?

(זה לא ארז) לא בהכרח. למשל הפונקציה f(x)=1/x כאשר x>0 ו f(x)=0 כאשר x<=0, מוגדרת לכל x ממשי אבל יש לה אסימפטוטה אנכית X=0, כי הגבול ב-0 מימין הוא אינסוף. לעומת זאת- אם פונקציה רציפה אז בוודאות אין לה אסימפטוטה אנכית, כי אם למשל x=a אסימפטוטה אנכית אז לפי רציפות הגבול ב x=a שווה לערך הפונקציה בנקודה זו, שלא יכול להיות אינסופי(כי הפונקציה רציפה ובפרט מוגדרת).

שאלה

בשאלה 3, מה הכוונה לחשב בכל נק'? לחקור?

תשובה

להגיד מה הערך בכל נקודה, בלי מחשבון (כלומר בלי להפעיל את הפונקציה arctan). תנסה להבין קצת את הפונקציה ותראה שזה לא מסובך

שאלה

היי ארז, בתרגול הזכרת איזה משפט שאומר שאם פונקציה גזירה פעמיים בקטע כלשהו, והיא מחליפה סימן כשהיא עוברת בנקודה מסוימת, אז זה אומר שזאת נקודת פיתול. אנחנו (בקבוצה של ד"ר שיין) לא הזכרנו את המשפט הזה בהרצאה.אשמח אם תכתוב פה את נוסח מדויק פחות או יותר של המשפט, עם כיוון פחות או יותר להוכחה שלו.

תשובה

נסתכל על פיתוח טיילור [math]\displaystyle{ f^{(2)}(c)(x-x_0)^2/2=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0) }[/math]. משמאל זו השארית, ומימין זה ההפרש בין הפונקציה לבין המשיק בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. ברור שהסימן של הצד השמאלי נקבע אך ורק על פי סימן הנגזרת השנייה, כאשר [math]\displaystyle{ c }[/math] נמצא בין [math]\displaystyle{ x }[/math] ו [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

לכן אם הנגזרת השנייה מקבלת סימן אחד בסביבה ימנית של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] וסימן הפוך בסביבה שמאלית, אז בצד עם הסימן השלילי הפונקציה מתחת למשיק, ובצד עם הסימן הימני הפונקציה מעל המשיק. ולכן זו נקודת פיתול.

זו אגב גם ההוכחה למה שרשמתי כשקורה שמתאפסות כל הנגזרות עד שלב n.

היי ארז, אנא קרא זאת בעיון: מה שאתה רשמת, מוכיח שאם הנגזרת השנייה בנקודה כלשהי היא חיובית אז הפונקציה קעורה בה כלפי מעלה, ולהפך. נקודת פיתול לפי ההגדרה היא נקודה אשר אם מעבירים בה משיק אז מצד אחד המשי הוא מעל הפונקציה ומהצד השני הוא מתחת לפונקציה. ההגדרה של נקודת פיתול כלל לא מדברת על שינוי קעירות. אם אנחנו יוצאים מנקודת הנחה שנקודת פיתול היא נקודה בה הפונקציה משנה קעירות אז מה שרשמת אכן מוכיח זאת, אבל אני לא רואה איך מההוכחה שלך נובע שזאת נקודת פיתול לפי ההגדרה שלה. ההוכחה צריכה להתמד במשיק אך ורק בנקודה x0 עצמה. אגב, פיתוח הטיילור שלך לא נכון.

(זה לא ארז) בפיתוח הטיילור צריך להיות באגף ימין מינוס f(x0) , אבל זה לא משנה את ההוכחה... וארז דווקא כן הוכיח לפי הגדרה- הוא הראה שההפרש בין הפונקציה לבין המשיק בנקודה x0 הוא חיובי,כלומר שהפונקציה מעל המשיק בנקודה x0, לכל x>x0 ולהפך בצד השני...כלומר הוכחה של נקודת פיתול לפי ההגדרה. בהוכחה מתייחסים למשיק בנקודה קבועה x0 ולא בנקודה משתנה x...

תודה על התיקון יש שם עוד כמה טעויות, תקנתי את הנוסחא. מה שאמרת נכון. פשוט צריך לשים לב שהמשיק בנקודה x_0 הינו

[math]\displaystyle{ y=f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0) }[/math].

אני חושב שהבנתי, תודה. :)

ואיך מוכיחים שבנקודת פיתול פונקציה משנה את הקעירות שלה?

כי אם יש נגזרת שניה רציפה בסביבה של נקודה, ואם היא חיובית בנקודה, אז הפונקציה קמורה כלפי מעלה בנקודה. זו בדיוק אותה הוכחה כמו למעלה, כי אם הנגזרת השנייה חיובית בנקודה היא חיובית בסביבה שלה (רציפות) ולכן בכל נקודה פרט לנקודת הפיתול הנגזרת השנייה היא בעלת סימן חיובי או שלילי בצד החיובי הפונקציה קמורה כלפי מעלה, ובצד השלילי כלפי מטה.

אז באופן כללי, אם הנגזרת השנייה אינה רציפה בסביבה של נקודת פיתול כלשהי, יכול להיות שהפונקציה לא תחליף שם את הקמירות שלה?

האמת שאני לא יודע :) אני לא מצליח לחשוב על דוגמא

אז בעצם, הקשר בין נקודת פיתול והחלפת הקמירות הוא כלל לא כזה הדוק. ראינו שיכול להיות שפונקציה תחליף את הקמירות שלה בנקודה שאינה נקודת פיתול, ומההגדרה של נקודת פיתול לא נובע באופן ישיר שהיא מחליפה בה קמירות. האם אני צודק?

שאלה 2 - חקירת פונקציות של ערך מוחלט

כיצד ניתן לחשב נגזרת שנייה של ערך מוחלט? הצלחתי לחשב נגזרת ראשונה ע"י זה שנעזרתי ב-sign כנגזרת של ערך מוחלט כשהיא מוגדרת בפונקצייה, אבל איך אפשר להמשיך? גם כשניסיתי לחשב לפי הגדרת הגבול של הנגזרת (השנייה) קבלתי ביטוי באורך של שורה שכולל sign של לא מעט ביטויים (ארבעה, ליתר דיוק)... איך אפשר לפשט את זה?

תשובה

פשוט מאד: באפס ערך מוחלט לא גזירה ולכן אין לה נגזרת שנייה שם. בכל מקום אחר הנגזרת הראשונה הינה קבועה בסביבה (אחד או מינוס אחד) ולכן הנגזרת השנייה של ערך מוחלט הינה אפס בכל מקום פרט לנקודה אפס שם היא אינה מוגדרת.

אההה יפה מאוד, תודה רבה :)! ויש לי עוד שאלה - רק כדי להבין עד הסוף - כמו שנקודה אינה קיצון אם הפונקצייה לא מוגדרת בה, כך גם נקודה אינה פיתול אם הנגזרת לא מוגדרת בה?

נכון.

• קיצון היא נקודה שיותר גדולה או קטנה מכל הנקודות בסביבתה, לכן אם הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה, היא בוודאי אינה יותר גבוהה או קטנה.
• פיתול היא נקודה אשר בסביבה בצד אחד שלה הפונקציה מעל המשיק, והמצד השני מתחת למשיק. אם אין נגזרת ראשונה בנקודה, בוודאי אין משיק בנקודה, ולכן ההגדרה לא מתקיימת.
• הערה-אבל בכלל התייחסות למשיק בנקודה הזאת. מדובר על המשיקים של הנקודות מימין ומשמאל לנקודה. אני לא מוצא קשר לנקודה עצמה.

לא. אני מציע שתסגרו על ההגדרה. נקודת פיתול מוגדרת כך:

• קובעים את המשיק בנקודה (!)
• אם קיימת סביבה, בה מימין לנקודה הפונקציה מעל המשיק שקבענו, ומשמאל מתחת (או להפך) זו נקודת פיתול.

שאלה

בקשר לקעירות כלפי מעלה/מטה, יש דבר שאינו מובן לי. קודם כל, מגדירים קעירות בנקודה או בקטע? אם מגדירים בנקודה, לא ברור איך אפשר להוכיח שבנק' פיתול פונקציה משנה את הקעירות. אם מגדירים בקטע, אז, זה אומר שאם קבענו נקודה x0, ואז ב(x0,אינסוף) אנחנו רואים שהמשיק מתחת לפונקציה, זה אומר שהיא קעורה כלפי מעלה בכל הקטע הזה? זה גם לא נכון..

תשובה

השאלה הזו נשאלה מספר פעמים כבר בדיון הזה.

מכיוון שאני לא בטוח מה ההגדרות המדויקות שהמרצים נתנו לכם, קשה לי להגיב על זה.

נקודת פיתול מוגדרת כפי שהגדרתי למעלה, וקעירות מוגדרת בנקודה. האם המשפט שאומר שבנקודת פיתול הפונקציה משנה קעירות נוסח בכיתה? האם הוא הוכח? אני חושב שזו שאלה למרצים.

לא נוסח ולא הוכח, אבל זה הקריטריון שהשתמשנו בו בתרגול כדי לקבוע אם הנקודות החשודות הן אכן נקודות פיתול. המשפט הזה נראה לך נכון?

בכיוון אחד הוא נכון כפי שהוכחתי באתר, כלומר אם הנגזרת השנייה מחליפה סימן, סימן שזו נקודת פיתול. המקרה קצה שלגביו אני לא בטוח הוא כאשר הנגזרת השנייה אינה רציפה, ואז קשה לדבר על הקעירות של הנקודות בסביבה.

שאלה לגבי טרמינולוגיה

אולי חלק מכם יחשוב שזו שאלה מטופשת, אבל בכל זאת: איך זוכרים מתי פונקציה קעורה וקמורה (אני זוכר שאחד זה מתי שהנגזרת השניה חיובית והשני כשהי שלילית, אבל אני לא זוכר את המילה אף פעם)?

שאלה

שאלה 5: לא פשוט מציבים במקום T את ההפוכתה לפיי על T?

שאלה

יש תאריך לבוחן?

שאלה

ראיתי פה ששאלו את זה כבר אבל בכל זאת, איך אני מוצא נק' חיתוך עם ציר ה-X ב-2B?

זה שזה לא ממש מדוייק זה מובן לי, אבל אני לא יודע איך למצוא אותן ממש.

תודה

מה זאת אומרת? לא צריך למצוא אותן ממש. אתה יודע "בערך" איפה הן, מספיק בשביל לסרטט ולהבין את הפונקציה.

אוקי, תודה.

שאלה

זה אמנם לא קשור לאינפי, אבל רציתי לדעת האם המבנה של המועד ב' בלינארית יהיה זהה לזה של המועד א'.

אני התחלתי ללמוד למועד ב' ואני פשוט חוזר על משפטים ותרגילים ורציתי לדעת אם משהו אמור להשתנות, או

שיש דברים מסויימים שאני סתם עושה אותם, נגיד כמו ללמוד הוכחות של משפטים.

ארז, אשמח אם תוכל לתת לנו קצת מידע על המועד ב' ועל המבנה שלו.

תודה.

תשובה

עניתי בדף של לינארית. בכל אופן, המבנה אמור להיות דומה למועד א', החומר שצריך ללמוד דומה לזה של מועד א' כם אם לא הופיע בפועל במבחן. ממליץ לוודא אצל המרצים.

ארז, אכפת לך לפתוח פה פורום של שאלות בשימושי מחשב בבקשה......? אני יודע שתסכים-אז תודה....

שאלה

לא כל כך קשור לכאן אבל בנינו אף אחד כבר לא נכנס לפורום של לינארית.

כל עזרה תתקבל בברכה:

נתונה המטריצה:

0 0 1

k g a^3

0 k a^3

k=1 ו-g=0 רשמתי ככה כי זה לא נותן אחרת. (a הוא פרמטר..) שואלים לאילו ערכי a המטריצה לכסינה, ויצא לי שלכל a היא לכסינה, לכן רציתי לאשר את זה.

תודה!

תשובה

מה עם המקרה a=1?

נכון, את/ה צודק/ת תודה רבה :)

השאלה בעמוד הראשי

מאיפה היא הגיעה? וד"א, אף פעם לא הבנתי מה הקשר ל-e בחזקת i (מספר בחזקת מספר מדומה?!) ועוד לכפול את i בזווית... אז נניח שנפתח לפי טורי טיילור, הכוונה להגיע מהביטוי השמאלי לימני, נכון? ולמה אתה מתכוון כשאתה אומר "נפנופי ידיים"?

תשובה

מה הכוונה מאיפה היא הגיעה? אני כתבתי אותה.

אני מנסה לא לכוון יותר מידי, כי זה לא תרגיל קשה במיוחד גם ככה. פשוט צריך לעלות על הטריק. כשתגיע אליו, כנראה תבין את נפנופי הידיים, בגדול זה בדיוק העניין שלא למדנו מה ההגדרה המדוייקת של [math]\displaystyle{ e^{i\theta} }[/math].

דרך לפתרון?

אלו הטורים ל-sin ו-cos:

[math]\displaystyle{ sin(\theta) = \theta- \frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+... }[/math]

[math]\displaystyle{ cos(\theta) = 1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}+... }[/math]

ניקח את הטור ל- [math]\displaystyle{ :e^x }[/math]

[math]\displaystyle{ e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+... }[/math]

נציב [math]\displaystyle{ :x = i \theta }[/math]

[math]\displaystyle{ e^{i \theta} = 1+i\theta-\frac{\theta^2}{2!}-\frac{i\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!} }[/math]

בגלל שלכל n זוגי, המתחלק ב-4 מתקיים [math]\displaystyle{ i^n=1 }[/math] , ואם הוא מתחלק רק ב-2 אז [math]\displaystyle{ i^n=1 }[/math] אם n אי-זוגי, אז אם המספר שלפניו (הזוגי) (n-1) מקיים את הסיווגים שלמעלה אז i בחזקתו זה i או i- בהתאמה.

ובכל-מקרה נוכל לסדר את [math]\displaystyle{ e^{i\theta} }[/math] כך -

[math]\displaystyle{ e^{i\theta} = [1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-...] + i[\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-...] }[/math]

וקיבלנו בכך את הזהות:

[math]\displaystyle{ e^{i\theta} = cos(\theta) + isin(\theta) = cis(\theta) }[/math]

או בצורתה הכללית: [math]\displaystyle{ rcis(\theta) = re^{i\theta} }[/math]

האם זה נכון...?

תשובה

נכון, זו הכוונה. יפה מאד.

למעשה [math]\displaystyle{ e^{i\theta} }[/math] מוגדר על ידי טור של הפונקציות [math]\displaystyle{ \frac{(i\theta)^n}{n!} }[/math] ומכאן השיוויון. אבל לא למדנו עדיין טורים של פונקציות או פונקציות מרוכבות.