מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/1

חזרה למערכי השיעור

על מספרים ומה שביניהם

הפעם הראשונה שאנו לומדים לספור היא בעזרת האצבעות- אצבע אחת, שתי אצבעות וכן הלאה. במתמטיקה אנו קוראים למספרים האלה טבעיים ומסמנים:

[math]\displaystyle{ \mathbb{N}=\{1,2,3,...\} }[/math]

לעומת פעולת החיבור הטבעית, פעולת החיסור הידועה לא בדיוק קיימת. מה שאנו מכנים חיסור, הוא למעשה חיבור במספר נגדי. המספרים הטבעיים ביחד עם אפס והמספרים הנגדיים נקראים שלמים ומסומנים:

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm 2, ...\} }[/math]

באופן דומה, אנו רוצים לכפול במספר הופכי (חצי, שליש, וכדומה) על מנת לבצע פעולת חילוק. אנו מגדירים את המספרים הראציונאליים בתור כל השברים של שני מספרים שלמים ומסמנים:

[math]\displaystyle{ \mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}|p,q\in \mathbb{Z}\} }[/math] (שימו לב לסימון [math]\displaystyle{ \in }[/math] האומר שייך לקבוצה. כמובן שבכיתה ובהמשך נבהיר את הרישום המתמטי)

שאלה: האם כעת תיארנו את כל המספרים שאנו מכירים?

תשובה: לא. נוכיח כעת כי המספר 'שורש 2', כלומר הפתרון למשוואה [math]\displaystyle{ x^2=2 }[/math] אינו מספר רציונאלי. לו שורש 2 היה מספר רציונאלי, היה ניתן להציג אותו כשבר מצומצם:

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}=\frac{p}{q} }[/math]

נעלה את שני האגפים בריבוע, ונקבל:

[math]\displaystyle{ 2=\frac{p^2}{q^2} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ 2q^2=p^2 }[/math]

כלומר p הינו מספר זוגי. נסמן אם כך [math]\displaystyle{ p=2a }[/math]. ולכן:

[math]\displaystyle{ 2q^2=4a^2 }[/math]

נחלק ב2 את שני האגפים ונקבל

[math]\displaystyle{ q^2=2a^2 }[/math]

כלומר גם q הינו מספר זוגי. אבל זה לא ייתכן, כיוון שהצגנו את שורש 2 כשבר מצומצם. לכן הגענו לסתירה המצביעה על העובדה שההנחה שלנו היא לא נכונה. ההנחה שלנו כמובן היא ששורש 2 הוא מספר רציונאלי.

אם כך, קיים לפחות מספר אחד שאנו מכירים שאינו רציונאלי. אבל לא הכל אבוד! אם נבחר לקרב את שורש 2 על ידי 10 הספרות הראשונות שלו, נקבל מספר רציונאלי:

[math]\displaystyle{ 1.4142135623=\frac{14142135623}{10000000000} }[/math]

לכן ניתן להתקרב ככל שנרצה (כלומר לרמת הדיוק הרצוייה) על ידי מספרים רציונאליים לכל מספר שאנו מכירים. למעשה, בעתיד המתמטי שלכם תראו שאנו מגדירים את קבוצת המספרים העשרוניים על ידי גבול של קירובים רציונאליים. לקבוצת המספרים העשרוניים אנו קוראים מספרים ממשיים ומסמנים אותם ב[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].