הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/30.7.12"
מ (←פתרון) |
מ (←מבוא) |
||
שורה 3: | שורה 3: | ||
משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המקשרת בין משתנה בלתי תלוי <math>x</math> לבין משתנה תלוי <math>y</math>. בניגוד למצב הנפוץ בו הפתרון של משוואה הוא נקודה, במד״ר הפתרון הוא פונקציה. | משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המקשרת בין משתנה בלתי תלוי <math>x</math> לבין משתנה תלוי <math>y</math>. בניגוד למצב הנפוץ בו הפתרון של משוואה הוא נקודה, במד״ר הפתרון הוא פונקציה. | ||
− | הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית רגילה היא <math>F\ | + | הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית רגילה היא <math>F\left(x,y(x),y'(x),\dots,y^{(n)}(x)\right)=0</math> (<math>F</math> פונקציה ב־<math>n+2</math> משתנים). הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית חלקית היא <math>F\left(x,y,z(x,y),\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\right)=0</math>. |
'''הגדרות:''' ''הסדר של מד״ר'' הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. ''המעלה'' היא החזקה של הנגזרת הגבוהה ביותר. נדגים: | '''הגדרות:''' ''הסדר של מד״ר'' הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. ''המעלה'' היא החזקה של הנגזרת הגבוהה ביותר. נדגים: | ||
שורה 18: | שורה 18: | ||
לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן <math>y'={\mathrm e}^{-x^2}</math> נקבל <math>y=\int {\mathrm e}^{-x^2}\mathrm dx</math>, והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציית השגיאה <math>\mbox{erf}</math> שעבורה <math>y=\frac\sqrt\pi2\mbox{erf}(x)+c</math>. | לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן <math>y'={\mathrm e}^{-x^2}</math> נקבל <math>y=\int {\mathrm e}^{-x^2}\mathrm dx</math>, והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציית השגיאה <math>\mbox{erf}</math> שעבורה <math>y=\frac\sqrt\pi2\mbox{erf}(x)+c</math>. | ||
− | '''הגדרה:''' ''צורה נורמלית'' של מד״ר היא <math>y^{(n)}=f(x,y,y',\dots,y^{(n-1)})</math> כאשר <math>n</math> סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה, <math>y={\mathrm e}^{y'}+y'-x=0</math>. | + | '''הגדרה:''' ''צורה נורמלית'' של מד״ר היא <math>y^{(n)}=f\left(x,y,y',\dots,y^{(n-1)}\right)</math> כאשר <math>n</math> סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה, <math>y={\mathrm e}^{y'}+y'-x=0</math>. |
− | ''הערה:'' <math>\equiv</math> מסמן שיוויון זהותי, כלומר שיוויון שמתקיים בכל נקודה. אם <math>f\equiv g</math> אז בפרט <math>f(x)=g(x)</math>, ולכן לא תמיד נקפיד לסמן ב־<math>\equiv</math> שיוויון זהותי. | + | ''הערה:'' <math>\equiv</math> מסמן שיוויון זהותי, כלומר שיוויון שמתקיים בכל נקודה. אם <math>f(x)\equiv g(x)</math> אז בפרט <math>f(x)=g(x)</math>, ולכן לא תמיד נקפיד לסמן ב־<math>\equiv</math> שיוויון זהותי. |
− | תהי <math>F(x,z_0,z_1,\dots,z_n)</math> פונקציה לינארית במשתנים <math>z_0,\dots,z_n</math>. אזי המד״ר המתאימה <math>F\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0</math> תקרא לינארית. <math>\sin(x)y''+x^2y'+3y-{\mathrm e}^{x^2}=0</math>, למשל. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: <math>y^{(n)}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(x)y^{(i)}+f(x)</math>. אם <math>f(x)\equiv0</math> | + | תהי <math>F(x,z_0,z_1,\dots,z_n)</math> פונקציה לינארית במשתנים <math>z_0,\dots,z_n</math>. אזי המד״ר המתאימה <math>F\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0</math> תקרא לינארית. <math>\sin(x)y''+x^2y'+3y-{\mathrm e}^{x^2}=0</math>, למשל. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: <math>y^{(n)}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(x)y^{(i)}+f(x)</math>. אם <math>f(x)\equiv0</math> המד״ר נקראת "לינארית־הומוגנית". דוגמה: <math>(y')^2+x^2+2=0</math>. |
− | '''הגדרה:''' ''פתרון של מד״ר'' הוא פונקציה <math>\varphi(x)</math> כך שבהצבת <math>y=\varphi(x)</math> המד״ר הופכת לזהות <math>F(x,\varphi(x),\varphi'(x),\dots,\varphi^{(n)}(x))\equiv0</math>. דוגמה: <math>\varphi(x)=x^2</math> היא פתרון של <math>xy'-2y=0</math> מפני שבהצבה <math>y=\varphi(x)</math> נקבל <math>x(2x)-2x^2=0</math>, מה שמתקיים תמיד. | + | '''הגדרה:''' ''פתרון של מד״ר'' הוא פונקציה <math>\varphi(x)</math> כך שבהצבת <math>y=\varphi(x)</math> המד״ר הופכת לזהות <math>F\left(x,\varphi(x),\varphi'(x),\dots,\varphi^{(n)}(x)\right)\equiv0</math>. דוגמה: <math>\varphi(x)=x^2</math> היא פתרון של <math>xy'-2y=0</math> מפני שבהצבה <math>y=\varphi(x)</math> נקבל <math>x(2x)-2x^2=0</math>, מה שמתקיים תמיד. |
'''הגדרה:''' ''פתרון כללי של מד״ר'' הוא משפחת פונקציות <math>\varphi(x,c_1,\dots,c_n)</math> שכל אחת מהן פתרון התלוי ב־<math>n</math> פרמטרים וגזיר <math>n</math> פעמים לפי <math>x</math>. דוגמה:{{left|<math>\begin{align}&y''=x+1\\\implies&y'=\frac{x^2}2+x+c_1\\\implies&y=\frac{x^3}6+\frac{x^2}2+c_1x+c_2\end{align}</math>}}{{משל}} | '''הגדרה:''' ''פתרון כללי של מד״ר'' הוא משפחת פונקציות <math>\varphi(x,c_1,\dots,c_n)</math> שכל אחת מהן פתרון התלוי ב־<math>n</math> פרמטרים וגזיר <math>n</math> פעמים לפי <math>x</math>. דוגמה:{{left|<math>\begin{align}&y''=x+1\\\implies&y'=\frac{x^2}2+x+c_1\\\implies&y=\frac{x^3}6+\frac{x^2}2+c_1x+c_2\end{align}</math>}}{{משל}} |
גרסה מ־15:39, 10 באוגוסט 2012
תוכן עניינים
מבוא
משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המקשרת בין משתנה בלתי תלוי לבין משתנה תלוי . בניגוד למצב הנפוץ בו הפתרון של משוואה הוא נקודה, במד״ר הפתרון הוא פונקציה.
הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית רגילה היא ( פונקציה ב־ משתנים). הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית חלקית היא .
הגדרות: הסדר של מד״ר הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. המעלה היא החזקה של הנגזרת הגבוהה ביותר. נדגים:
- : הסדר הוא 1 והמעלה – 1.
- : הסדר הוא 1 והמעלה – 2.
- : הסדר הוא 2 והמעלה – 1.
- : הסדר הוא 3 והמעלה – 1.
קיימות מד״ר שאנו כבר יודעים לפתור. למשל:
- אם אזי .
נשים לב שיש אינסוף פתרונות.
לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן נקבל , והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציית השגיאה שעבורה .
הגדרה: צורה נורמלית של מד״ר היא כאשר סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה, .
הערה: מסמן שיוויון זהותי, כלומר שיוויון שמתקיים בכל נקודה. אם אז בפרט , ולכן לא תמיד נקפיד לסמן ב־ שיוויון זהותי.
תהי פונקציה לינארית במשתנים . אזי המד״ר המתאימה תקרא לינארית. , למשל. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: . אם המד״ר נקראת "לינארית־הומוגנית". דוגמה: .
הגדרה: פתרון של מד״ר הוא פונקציה כך שבהצבת המד״ר הופכת לזהות . דוגמה: היא פתרון של מפני שבהצבה נקבל , מה שמתקיים תמיד.
הגדרה: פתרון כללי של מד״ר הוא משפחת פונקציות שכל אחת מהן פתרון התלוי ב־ פרמטרים וגזיר פעמים לפי . דוגמה:מד״ר מסדר ראשון
הגדרה: מד״ר מסדר ראשון היא מד״ר מהצורה . באופן שקול, הצורה הנורמלית שלה היא . דוגמאות:מד״ר 2 שקולה ל־ ומד״ר 3 שקולה ל־. אלה הצורות הדיפרנציאליות.
בעיית קושי
בכל הנוגע למד״ר מסדר ראשון, הבעיה היא למצוא פתרון למד״ר המקיים תנאי התחלה .
פתרון רגולרי וסינגולרי
הגדרות: בהנתן פתרון כללי של מד״ר , פתרון המתקבל ע״י הצבת מסוים נקרא פתרון פרטי, רגולרי או רגיל. פתרון שאינו מתקבל מ־ מסוים נקרא פתרון סינגולרי או מיוחד. דוגמה: נתונה המד״ר . הפתרון הרגולרי הכללי הוא לכל , כגון . פתרון סינגולרי.
משפט הקיום והיחידות
נציג גרסה לא כ״כ פורמלית למשפט (את הגרסה המדויקת ואת ההוכחה נציג בהמשך). בהינתן מד״ר בצורה נורמלית . אם הפונקציה מקיימת את תנאי ליפשיץ במשתנה בסביבה מסוימת של הנקודה אזי קיימת סביבה שלה שבה למד״ר פתרון אחד ויחיד העובר ב־ (כלומר מקיים ).
תזכורת: מקיימת את תנאי ליפשיץ אם .
מד״ר עם משתנים מופרדים
דוגמה
נתון . אזי
נניח :[1] | ||||||
נציב : | ||||||
נציב :[2] |
^ הערה 1: הנחנו ש־ וחילקנו ב־, אבל מה אם יש נקודות בודדות שבהן ? מקרה כזה אינו משנה לנו כיוון ש־ גזירה ובפרט רציפה, ולכן קיימים קטעים שבהם . אנו יכולים לפתור את המד״ר בקטעים אלה ואז, הודות לרציפות, הפתרון ייתן את התוצאה הנכונה גם בקצוות הקטעים.
^ הערה 2: הגדרנו , אך נשים לב ש־ מוכרח להיות קבוע. במקרה זה הדרישה הזאת מתקיימת: לכל ומכאן שלא קיימת נקודה שבה . לפיכך, מפני ש־ רציפה, אינה מחליפה סימן באף קטע, כלומר קבוע. כך נקבל שגם קבוע, כדרוש.
עתה נתייחס למקרה שבו . הצבה במד״ר תראה שזה פתרון ולבסוף הפתרון הכללי הוא .
נוכל להכליל את הדוגמה למקרה כללי: אם אזי .
צורה כללית
הצורה הכללית של מד״ר מסדר ראשון עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלי: . אם עבור כלשהו אזי פותר את המד״ר. אם עבור כלשהו אזי פתרון (במובן כלשהו – רגולרי או סינגולרי). אם נחלק בהם ונקבל .
דוגמה
. נמיר זאת לכתיב דיפרנציאלי ונקבל . הפתרונות הם או או . במקרה האחרון . לא נצליח לחלץ את , אבל נוכל לחלץ את : (כאשר ).
מד״ר פתורות ע״י הפרדת משתנים
נתונה מד״ר מהצורה . נגדיר , לכן ולפיכךלכן ואם הפיכה אזי .
דוגמה
. אזי עבור נקבל
נניח : | ||||||
הצבת נותנת ולכן פתרון.
הומוגניות
הגדרה: פונקציה נקראת הומוגנית מסדר אם לכל מתקיים . למשל:
- הומוגנית מסדר 0 כי .
- הומוגנית מסדר 2 כי .
משפט
פונקציה ניתנת לכתיבה בצורה לכל אם״ם היא הומוגנית מסדר 0.
הוכחה
: .
: נתון . אם נבחר ולכן . במקרה נציב , ואז .
מד״ר הומוגנית
הגדרה: אם ניתן לכתוב את המד״ר בצורה אזי היא נקראת הומוגנית.
ניתן לפתור כל מד״ר הומוגנית באמצאות ההצבה : מתקיים ולכן אם אז
עבור המוגדרת כאגף שמאל, . במידה ו־ הפיכה .
תרגיל
פתרו עם תנאי ההתחלה .