מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/10: הבדלים בין גרסאות בדף
| שורה 37: | שורה 37: | ||
''' | '''תרגילים:''' | ||
*<math>\int cos(x)\cdot x\cdot dx = sin(x)\cdot x - \int sin(x)dx = sin(x)\cdot x +cos(x) +C</math> | *<math>\int cos(x)\cdot x\cdot dx = sin(x)\cdot x - \int sin(x)dx = sin(x)\cdot x +cos(x) +C</math> | ||
| שורה 43: | שורה 43: | ||
*<math>\int ln(x)dx = \int 1\cdot ln(x)dx = x\cdot ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\cdot ln(x) - x + C</math> | *<math>\int ln(x)dx = \int 1\cdot ln(x)dx = x\cdot ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\cdot ln(x) - x + C</math> | ||
*<math>I=\int sin(x)e^xdx=sin(x)e^x - \int cos(x)e^xdx = sin(x)e^x - [cos(x)e^x+\int sin(x)e^xdx] = e^x[sin(x)+cos(x)] - I</math> | |||
::לכן ביחד <math>I=\frac{e^x}{2}[sin(x)+cos(x)]+C</math> | |||
*<math>\int\frac{ln(x)}{x}dx=ln^2(x) -\int \frac{ln(x)}{x}dx </math> | |||
::ביחד <math>\int\frac{ln(x)}{x}dx=\frac{1}{2}ln^2(x)+C</math> | |||
גרסה מ־08:27, 22 באוגוסט 2012
אינטרגלים
נלמד שני סוגי אינטגרלים - האינטגרל המסויים והאינטגרל הלא מסויים.
האינטגרל המסויים [math]\displaystyle{ \int_a^bf(x)dx }[/math] מוגדר להיות השטח מתחת לגרף הפונקציה f בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כאשר אם הפונקציה מתחת לציר האיקס השטח נספר כשלילי.
האינטגרל הלא מסויים [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] הוא פונקציה קדומה [math]\displaystyle{ F(x) }[/math], כלומר פונקציה המקיימת [math]\displaystyle{ F'(x)=f(x) }[/math].
במקרים שמעניינים אותנו (נלמד בעתיד את התנאי המדוייקים) מתקיים [math]\displaystyle{ \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) }[/math] כאשר F קדומה ל f.
שיטות לחישוב אינטגרלים
אינטגרציה בחלקים
נזכר בנוסחאת לגזירת מכפלה של פונקציות:
- [math]\displaystyle{ (fg)'=f'g+g'f }[/math]
כעת, לפי הגדרת פונקציה קדומה, מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ fg= \int (fg)' }[/math]
ביחד נקבל:
- [math]\displaystyle{ fg=\int f'g +\int g'f }[/math]
ומכן אנו מסיקים את הנוסחא של אינטגרציה בחלקים:
- [math]\displaystyle{ \int f'(x) g(x) dx = f(x)\cdot g(x) - \int f(x)g'(x)dx }[/math]
תרגילים:
- [math]\displaystyle{ \int cos(x)\cdot x\cdot dx = sin(x)\cdot x - \int sin(x)dx = sin(x)\cdot x +cos(x) +C }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int ln(x)dx = \int 1\cdot ln(x)dx = x\cdot ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\cdot ln(x) - x + C }[/math]
- [math]\displaystyle{ I=\int sin(x)e^xdx=sin(x)e^x - \int cos(x)e^xdx = sin(x)e^x - [cos(x)e^x+\int sin(x)e^xdx] = e^x[sin(x)+cos(x)] - I }[/math]
- לכן ביחד [math]\displaystyle{ I=\frac{e^x}{2}[sin(x)+cos(x)]+C }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int\frac{ln(x)}{x}dx=ln^2(x) -\int \frac{ln(x)}{x}dx }[/math]
- ביחד [math]\displaystyle{ \int\frac{ln(x)}{x}dx=\frac{1}{2}ln^2(x)+C }[/math]