שילוש מטריצה: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== מטריצה A נקראת '''ניתנת לשילוש''' אם קיימת מטריצה משולשית עליונה הדומה לה ==משפט== מטר...") |
(←משפט) |
||
| שורה 4: | שורה 4: | ||
==משפט== | ==משפט== | ||
מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם [[הפולינום האופייני]] שלה מתפרק לגורמים לינאריים | מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם [[הפולינום האופייני]] שלה מתפרק לגורמים לינאריים | ||
==אלגוריתם לשילוש מטריצה== | |||
*ניקח את האיחוד של הבסיסים למרחבים העצמיים E ונשלים אותו לבסיס B | |||
*נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P ונביט במטריצה <math>Q = P^{-1}AP</math> | |||
*נסמן <math>k=|E|</math>. נסמן ב<math>Q_k</math> את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות. | |||
*לפי אינדוקציה, ניתן לשלש את המטריצה <math>Q_k</math> על ידי המטריצה <math>P_1</math>. | |||
*נסמן <math>Q_1=I_k\oplus P_1</math>, כאשר <math>I_k</math> הינה מטריצה היחידה מגודל k. | |||
*סה"כ <math>Q_1^{-1}P^{-1}APQ_1</math> הינה מטריצה משולשית | |||
==דוגמאות== | ==דוגמאות== | ||
גרסה מ־08:30, 13 בנובמבר 2012
הגדרה
מטריצה A נקראת ניתנת לשילוש אם קיימת מטריצה משולשית עליונה הדומה לה
משפט
מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים
אלגוריתם לשילוש מטריצה
- ניקח את האיחוד של הבסיסים למרחבים העצמיים E ונשלים אותו לבסיס B
- נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P ונביט במטריצה [math]\displaystyle{ Q = P^{-1}AP }[/math]
- נסמן [math]\displaystyle{ k=|E| }[/math]. נסמן ב[math]\displaystyle{ Q_k }[/math] את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות.
- לפי אינדוקציה, ניתן לשלש את המטריצה [math]\displaystyle{ Q_k }[/math] על ידי המטריצה [math]\displaystyle{ P_1 }[/math].
- נסמן [math]\displaystyle{ Q_1=I_k\oplus P_1 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ I_k }[/math] הינה מטריצה היחידה מגודל k.
- סה"כ [math]\displaystyle{ Q_1^{-1}P^{-1}APQ_1 }[/math] הינה מטריצה משולשית