מטריצה אוניטרית

הגדרה

מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] נקראת אוניטרית אם [math]\displaystyle{ AA^*=I }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ A^*:=\overline{A^t} }[/math]

משפט

א. [math]\displaystyle{ A }[/math] אוניטרית אם"ם [math]\displaystyle{ A^t }[/math] אוניטרית.

ב. A אוניטרית אם"ם שורותיה מהוות בסיס אורתונורמלי לפי המכפלה הפנימית הסטנדרטית אם"ם עמודותיה מהוות בסיס אורתונורמלי לפי המכפלה הפנימית הסטנדרטית

תרגילים

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל המרוכבים, יהי B בסיס אורתונורמלי ל V ויהי C בסיס נוסף ל-V.

הוכיחו כי C אורתונורמלי אם"ם מטריצת המעבר בין B ל C אוניטרית.