שיחה:88-113 תשעג סמסטר א

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

תרגיל (תיכוניסטים)

מתי יעלו לנו את התרגיל בלינארית 2 ומתי יום ההגשה שלו?

התרגיל עלה, הגשה לשבוע הבא. --ארז שיינר

תרגיל 1 שאלה 1 (תיכוניסטים)

שכתוב למצוא מרחב עצמי הכוונה למצוא בסיס למרחב העצמי?

בדיוק --ארז שיינר

שאלה 2 לתיכוניסטים

הפרכה: נקח את המטריצה מ1ג ואת הווקטורים (1,1,0-) ו-(1,0,1-) שאינם תלויים לינארית ונראה ששניהם ו"ע של המטריצה עם ע"ע 0.

צודק, תקנתי את הטעות בשאלה. --ארז שיינר

אוף ניסיתי יותר מדי זמן להוכיח את זה

מרחב עצמי

מה הכוונה מרחב עצמי? הגדרנו רק ערך עצמי ווקטור עצמי...

(לא מרצה/מתרגל) מרחב עצמי זה קבוצת כל הווקטורים העצמיים עם ווקטור האפס(שהרי ע"פי ההגדרה הוא לא ווקטור עצמי). ניתן להוכיח בקלות שקבוצה זו מקיימת סגירות לחיבור, וכפל בסקלר. היא מכילה את ווקטור האפס ולכן היא מרחב.

אם תבין את הכתב שלי אז יש שם הגדרה של המרחב + הוכחה קצרה:

עמוד שלישי של התרגול הראשון

--Avital 21:56, 25 באוקטובר 2012 (IST)

לא הבנתי משהו בתרגול

רשמנו בתרגיל: "כל המטריצות הדומות מייצגות את אותה העתקה לינארית בבסיסים שונים"

אפשר הסבר למשפט הזה?

• (לא מתרגל) אמרנו (אי שם בלינארית 1) שכל העתקה אפשר להציג בתור מטריצה ביחס לבסיסים מסוימים, וההפך - כל מטריצה מייצגת העתקה, ביחס לבסיסים מסוימים.

יש טענה כזו שאומרת שכל שתי מטריצות שמייצגות אותה העתקה ביחס לבסיסים שונים, הן דומות. כלומר, קיימת P הפיכה כך ש: http://up357.siz.co.il/up1/3zjymrewzmyd.png

מצד שני, הטענה ההפוכה היא: אם ניקח שתי מטריצות דומות, אפשר למצוא העתקה לינארית, וכן ארבעה בסיסים כך שהמטריצות המייצגות ביחס לבסיסים יהיו שוות לאותן המטריצות הדומות.

ומה זה נותן לי, שהמטריצות הללו מייצגות את אותה הע"ל בבסיסים שונים?

העובדה שמטריצות דומות מייצגות את אותה העתקה לינארית עוזרת באופן הבא- אם יש לך מטריצה כלשהי המייצגת העתקה, היית מעדיף למצוא מטריצה דומה לה (כלומר מייצגת את אותה ההעתקה) שהיא פשוטה יותר. למשל אם המטריצה הדומה היא אלכסונית, אז ההעתקה סה"כ כופלת כל איבר בבסיס מסויים בסקלר --ארז שיינר

אז הרעיון במטריצות דומות זה בעצם להפוך את המטריצה למטריצה "יפה" יותר, שממנה יותר קל לראות מה ההעתקה עושה?

אכן זה אחד הרעיונות המרכזיים של הקורס (לכסון, שילוש, ז'ורדן) --ארז שיינר

תרגיל 1 שאלה 3

האם אפשר להניח שלכל i, ה-x במקום i שונה מאפס? (זה נחוץ לחישוב הדטרמיננטה)

(לא מתרגל) אני אישית הפרדתי באופן זה או אחר. נסה/י לראות מה יקרה אם Xi שווה אפס, ותנסה/י "להיפטר" ממקרה זה בחישוב הדט' שאת/ה מנסה לחשב.

תרגיל 2

אפשר הסבר לשאלה 2? למה בדיוק הכוונה ב- T משקפת נקודות ביחס לישר y=kx?

נראה לי שזה אומר שכאילו שמים מראה על הישר y=kx וזה מעביר את כל הנקודות לצד השני שלו כשהן נשארות באותו מרחק ממנו ביחס לאותה נקודה שלו

אפשר למצוא את התוצאה עם אנך ואמצע קטע כמו בגיאומטריה אנליטית

מקווה שעזרתי בינתיים אבל עדיף לחכות לתשובה של מתרגל

נכון, שיקוף זו פעולה של מראה. --ארז שיינר

• למה בדיוק הכוונה? איך אני רושם את T של וקטור (x,y) במפורש?

זו בדיוק השאלה. כמו שענו לך למעלה, מכל נקודה אתה מעביר אנך לקו הישר ושולח אותה לנקודה על האנך מאותו המרחק בצד השני של הישר. --ארז שיינר

אתה יכול להביא דוגמא מספרית?

• קצת קשה לראות כאן דוגמא מספרית, כי צריך לעשות הרבה עבודה כדי להגיע לזה, ואין לזה הרבה משמעות. פשוט לוקחים את הישר kx ונקודה כלשהי, מעבירים ממנה אנך לישר kx. לנקודה הזו יש מרחק מהישר. אז ניקח את הנקודה על הישר המאונך לkx, בצד השני של הישר, שהיא במרחק זהה. זה הכל.

תרגיל 2

בשאלה 2, מה זה L? --גיא 16:14, 31 באוקטובר 2012 (IST)

זו טעות. הכוונה לT --ארז שיינר

תרגיל 2 שאלה 4

מה ההתקה בדיוק עושה למטריצה ? לא ברור... זה נראה כאילו היא לוקחת כל מטריצה 2 על 2 והופכת אותה למטריצה מסויימת שכתובה בתרגיל כאילו וקטור עצמי זה מטריצה בכלל ?

תודה

כן, במקרה של ההעתקה מעל מרחב המטריצות, הוקטורים הם מטריצות. ולכן וקטור עצמי יהיה מטריצה. --ארז שיינר

תרגיל 2 שאלה 3

בסעיף א', מה זאת אומרת הערכים העצמיים של A שונים זה מזה, מן הסתם שהם שונים לא?

הכוונה היא שיש n ערכים עצמיים שונים --ארז שיינר

כש n זה הגודל של המטריצה נכון?

נכון --ארז שיינר

תרגיל 2 שאלה 2 (תיכוניסטים)

האם מוצר להשתמש במה שלמדנו בתיכון בגאומטריה אנליטית (מרחק בין 2 נקודות, מרחק בין נקודה לישר, אם m שיפוע של ישר אז שיפוע הישר האנך לו הוא (1-)^m וכו) ?

אתה יכול להסביר לי מה מבקשים בכלל בתרגיל? מה זאת אומרת "משקפת"?

מצורף איור המתאר למה הכוונה בשיקוף. האיור לקוח מתוך הקורס בגיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית, סמסטר א תשע"ב (ואויר על ידי המתרגלת, אנה זרך). מקווה שזה עוזר. גל.

אז מה שהשיקוף עושה, זה להעביר מהנקודה אנך לישר, ואז ממשיכים את האנך הזה כאורכו, ואז הנקודה שהוא מגיעה אליה, זה השיקוף?

בהחלט. זה העקרון על פיו מוצאים את הדמות במראה (באופטיקה, אם למדת בתיכון), ובעצם כאן y=kx הוא המראה שלך.

שאלה כללית

אם יש לי ע"ע כלשהו, והמטריצה A-xI יוצאת הפיכה, אז אין וקטור עצמי עבור הערך העצמי הזה  ? כי למרחב האפס של המטריצה יש רק פתרון טריוויאלי ?

לא ייתכן שעבור ע"ע x המטריצה A-xI תהא הפיכה. הרי ע"ע מאפס את הפולינום האופייני - הוא הדטרמיננטה של מטריצה זו. --ארז שיינר

תרגיל 2 שאלה 5

כתוב למצוא בסיס למרחב העצמי הנתון. איזה מרחב עצמי נתון ?

אני מניח שהכוונה למרחב העצמי לע"ע 1... --ארז שיינר

תרגיל 2 שאלה 2

מה זה אומר שצריך למצוא הצגה אלכסונית D? מה זאת אומרת?

נ.ב כשמבקשים להוכיח האם T לכסינה, זה בעצם להראות שהמטריצה המייצגת שלה לפי בסיסים כלשהם, לכסינה?

• בנוגע לנ.ב. - כן, זהו משפט שראינו בהרצאה. עכשיו בנוגע לשאלה הראשונה - לאחר שמצאת האם T לפי בסיס כלשהו לכסינה, אתה צריך למצוא את המטריצה האלכסונית שלה היא דומה.

אז כשרוצים למצוא את D, צריך למצוא את המטריצה או את ההעתקה עצמה?

• כשאומרים למצוא את D, הכוונה היא שתרשום את המטריצה האלכסונית הזו שאתה מחפש.

ואיך אמורים למצוא את הבסיס הזה?

• לפי תרגיל שראינו בהרצאה, T לפי הבסיס B היא אלכסונית <=> הבסיס B מורכב מ-n ו"ע בת"ל של T.

אוקי, ואם לדוגמא T לכסינה, זה אומר שלכל בסיס B, המטריצה המייצגת את T לפי B היא אלכסונית? או שרק קיים בסיס כזה?

רק שקיים בסיס כזה, אחרת אין משמעות לפעולת הלכסון. פעולת הלכסון היא בדיוק מציאת הבסיס לפי המטריצה אלכסונית (כאשר מסתכלים גם על מטריצה רגילה כהעתקה לינארית) --ארז שיינר

• חשוב גם לאמר שיש יותר מאופציה אחת, כי אם נשנה את הסדר של הוקטורים בבסיס שמצאנו, נקבל בסיס סדור אחר, שגם הוא יתאים. מה שיקרה זה שבסה"כ הע"ע יחליפו מקומות על האלכסון במטריצה המייצגת, ונקבל מטריצה קצת אחרת.

תרגיל 2 שאלה 4

איך אני מוצא את המטריצה המייצגת של ההעתקה T?

כמו שלמדנו בלינארית 1. מצא בסיס למרחב (שים לב שזהו מרחב של מטריצות), תפעיל את ההעתקה על הבסיס, שים את הקואורדינטות של התוצאות בעמודות מטריצה --ארז שיינר

תרגיל 3 שאלה 3

איך אני מגלה לאן f שולחת?

(לא מתרגל / מרצה) התכוונת ל-f שכתוב ב-[math]\displaystyle{ T(f) }[/math]? אם כן, זהו פשוט פולינום כללי ממעלה עד מעלה שלישית --גיא 16:43, 9 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 3 שאלה 3

יש הבדל בין f לבין [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]?

(לא מתרגל / מרצה) לא --גיא 16:42, 9 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 3 שאלה 4

אם g, h פולינומים, יש דבר כזה [math]\displaystyle{ g/h }[/math] (g חלקי h)?

• כן, זהו חילוק פולינומים. לדוגמא אם ניקח x^2-1 וכן x-1 החילוק שלהם יביא x+1.

תרגיל 3 שאלה 1 סעיף ג'

אפשר ניסוח אחר של השאלה? כי הפתרונות שחשבתי עליהם ממש טריוויאלים ואני לא חושב שלזה התכוונו. --Avital 18:12, 9 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 3 שאלה 4

מה למדנו על מספרים זרים בתרגול? :)

אם f,g פולינומים זרים אז קיימים פולינומים a,b כך ש af+bg=1 --ארז שיינר

שאלה 1 סעיף ב (תרגיל 3)

המטריצות בסעיף הזה גם מעל הממשיים?

תרגיל 3,שאלה 4

סעיף ב

אפשר להוכיח באינדוקציה בלי להשתמש בסעיף א?, כי ככה יצא לי האמת.

בקשר לסעיף ג, מז"א הצגה יחידה עד כדי סקלר?

תודה

תרגיל 3 שאלה 4

מעל C, קיימים פולינומים אי - פריקים חוץ מהפולינומים ממעלה 1?

• (לא מתרגל) אמרנו בהרצאה שכל פולינום מתפרק לגורמים לינאריים מעל C, ולכן התשובה היא לא.

אפשר אולי להעלות את התרגילי בית מוקדם יותר?

נגיד ביום של הגשת התרגיל הקודם או יום אחרי, זה מאוד יעזור. מצטרף לשאלה.

גם אני מצטרף.... עברו כבר שלושה ימים ועדיין לא עלה התרגיל...

בכלל אם אפשר עדיף לעלות אותם יום-יומיים לפני- כמו בפיזיקה ואז יש יותר משבוע שלם -משהו כמו 9-10 ימים להכין את השיעורים-

ובעיניין התרגיל הנוכחי- תרגיל 4 עדיף לדחות אותו בשבוע לפחות - כי גם ככה אין לנו סיכוי לסיים אותו בזמן

ֿ אני ממש בעד שהתרגיל יעלה מוקדם יותר באופן קבוע (אולי גם באינפי), זה יכול לחסוך לנו הרבה זמן

איחור העלאת התרגיל

יתנו לנו הארכה על התרגיל הנוכחי ? כבר סוף שבוע והוא עוד לא עלה....

• כבר יום ראשון..(מישהו אחר)

הבוחן

אם אפשר לתת פרטים על הבוחן וקישור לתרגילים, זה ממש יעזור! תודה

תרגיל 4 שאלה 2

לא כל כך הבנתי את השאלה זה לא בעצם אומר שהמטריצה היא מטריצת האפס?

צודק, יש טעות בשאלה m(x)=x^2 ולא m(x)=x אני אעלה תיקון בהקדם.

תרגיל 4 שאלה 3

הכוונה שנישתמש באלגוריתם לשילוש שלמדנו בתירגול?

לא מרצה/מתרגל. סביר להניח שכן

תרגיל 4 שאלה 5א

מהו תת מרחב g(T) אינווריאנטי?

מצטרף גם כן לשאלה....

• (לא מתרגל) ראינו כי אם g פולינום אז אפשר להציב עליו מטריצות וגם טרנספורמציות. כלומר אם נציב על g את T, נקבל טרנספורמציה g(T). ומכאן אפשר להבין את המונח בדיוק כמו בעבור העתקה רגילה T, רק שפה ההעתקה היא g(T), זה הכל.

מה זאת אומרת להציב טרנפורמציות ??? הכוונה להציב את המטריצה המייצגת שלהם ? וגם אז הכוונה שלכל [math]\displaystyle{ v }[/math] ב-[math]\displaystyle{ W }[/math] גם [math]\displaystyle{ g(T(v)) }[/math] נמצא ב-[math]\displaystyle{ W }[/math] ?

• אם ניקח פולינום כלשהו, אפשר להציב עליו העתקות לינאריות, באופן הבא:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?g(x)={%20a%20}_{%200%20}+{%20a%20}_{%201%20}x+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20x%20}^{%20n%20}\\%20=%3Eg(T)={%20a%20}_{%200%20}I+{%20a%20}_{%201%20}T+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20T%20}^{%20n%20}

כאשר I היא העתקה הזהות, ולדוגמא T בריבוע היא T הרכבה T. בעצם קיבלנו כפל של העתקות בסקלר => העתקה, וכן חיבור העתקות => העתקה (כי מרחב ההעתקות הוא מרחב וקטורי וסגור לכפל בסקלר וחיבור), כלומר בסה"כ על [math]\displaystyle{ g(T) }[/math] היא העתקה.

ואז אפשר להבין את הגדרה בדיוק כמו עבור העתקה T:

W הוא ת"מ [math]\displaystyle{ g(T) }[/math] אינווריאנטי אם לכל v ב W מתקיים [math]\displaystyle{ (g(T))(v)\in W }[/math]

תרגיל 4 שאלה 3

מעל איזה שדה נמצאת המטריצה הנתונה ? מרוכבים ? ממשיים ? ....

• (לא מתרגל) זה לא משנה כל כך לשאלה אני מאמין.

אני דווקא חושב שזה די חשוב...

• באיזשהו מקום אתה צודק, כי אם המרחב הוא Z2 השאלה הופכת לקלילה. אם הוא Z1, כלומר המרחב שמכיל את 0 בלבד, אז היא עוד יותר קלה. ובכל מקרה, יש פתרון שתקף לכל מרחב שתיקח.

• מתי תבינו שאם לא כתוב אז זה אומר שאנחנו מעל R?--Caspim 21:25, 22 בנובמבר 2012 (IST)

• (לא מתרגל) נבין מחר. בכל מקרה, יש פתרון שתקף גם מעל C, גם מעל Z2 וגם מעל R, אז לא חייבים להגביל בשדה (אולי דווקא בגלל זה לא רשמו אותו).

תרגיל 4 שאלה 5 ב'

כשרושמים [math]\displaystyle{ f(T)[W] }[/math] מתכוונים לזה שמפעילים את כל הוקטורים ב W על ההעתקה?

• (לא מתרגל) הכוונה היא לתמונה של W לפי ההעתקה [math]\displaystyle{ f(T) }[/math]

שאלה 5

בקשר לסעיפים ב,ג אפשר לקחת איבר כללי ב-W בסעיף ב ובסעיף ג איבר כללי ב-V ולהראות את ההוכחה על התמונה שלו או שבאמת צריך לקחת את כל האיברים בתמונה... תודה

תרגיל 4 שאלה 5

זה בהנחה ש T הע"ל מ V לעצמו נכון..(?)

• (לא מתרגל) כן, אחרת כל התרגיל לא מוגדר בהכרח (זה כמו להניח שמטריצה A ריבועית).

דחוף! שאלה בקשר לבוחן (תיכוניסטים)

יש מחר בוחן או לא? אם לא, למתי הוא נדחה? אודה אם יענו לי בהקדם! תודה :)

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן נדחה ל-11.12, ההשלמה בחנוכה --גיא 18:30, 26 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 4 שאלה 1

מעל איזה שדה T? זה מאד חשוב לפתרון , שכן יכולים להיות פתרונות שונים אם זה מעל C או מעל R...

(לא מתרגל / מרצה) כתוב [math]\displaystyle{ T:\mathbb{C}^3\rightarrow\mathbb{C}^3 }[/math], לכן מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]. --גיא 22:51, 26 בנובמבר 2012 (IST)

איך מוצאים תתי מרחבים אינווריאנטים?

יש אלגוריתם למציאת תתי מרחבים אינווריאנטים?

(לא מתרגל / מרצה) לדעתי לא, אחרת היה ארז היה מעלה אותו ל-math-wiki --גיא 22:34, 1 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 5 שאלה 2 א'

אפשר הסבר למה זה בעצם W1?

???

???

(לא מרצה / מתרגל) ארז אמר שהוא יבדוק מחר ויחזיר תשובה בנושא --גיא 23:15, 1 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 5 שאלה 1

מה זה תתי מרחבים אינווריאנטים תחת כפל ב-A ?

(לא מתרגל / מרצה) דיברנו בהרצאה ובתרגול על תתי מרחבים אינווריאנטיים תחת העתקה מסוימת. אך מלינארית 1 אנו יודעים כי כל העתקה שקולה לכפל במטריצה. הכוונה בתרגיל - במקום העתקה מכפילים את הוקטור במטריצה; [math]\displaystyle{ V }[/math] תת מרחב אינווריאנטי תחת כפל ב-[math]\displaystyle{ A }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ \vec{v}\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ A\vec{v}\in V }[/math] --גיא 12:59, 1 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 5 שאלה 1

אני לא מבין את השאלה V ו W הם מרחבים של מטריצות או של וקטורים? וגם הוקטורים העצמיים יוצאים מרוכבים אז יכול להיות שהם אמורים להיות ממשיים?

(לא מתרגל / מרצה) [math]\displaystyle{ V,W\subseteq \mathbb{R}^4 }[/math], לכן הם תתי מרחבים של וקטורי [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^4 }[/math]. נכון, הו"ע וגם הע"ע יוצאים מרוכבים, אך יש לחשוב כיצד לחזור לממשיים עם תתי מרחבים אינווריאנטיים כדרוש --גיא 22:33, 1 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 5 ,שאלה 3

האם אפשר ב-א ישר לתת את המרחבים האלה? והאם מותר להשתמש במרחבים טריוואלים

?

תודה

(לא מתרגל / מרצה) מה הכוונה בלתת ישר את המרחבים האלו ולהשתמש במרחבים טריוויאליים? [math]\displaystyle{ W }[/math] נתון לך מעצם השאלה, אתה צריך למצוא לו תת מרחב אחר [math]\displaystyle{ W' }[/math] שיקיים את התנאי. אסור להשתמש בדוגמאות ספציפיות - כי [math]\displaystyle{ W }[/math] אינו נתון --גיא 22:31, 1 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 5 שאלה 2 א

לא הבנתי מה זה wi זה יוצא ker של מטריצה לא ריבועית...

תרגיל 5 שאלה 2 א - הסבר

העליתי קובץ מתוקן.

החישובים יוצאים ממש ארוכים..

רק לחשב את הפולינום האופייני של מטריצה 4x4 לקח לי בערך 2 עמודים, שלא לדבר על זה שעכשיו צריך למצוא וקטורים עצמיים בשביל שאלה 1..

איך זה אפשרי שבמבחן יהיה לי זמן לעשות את כל החישובים האלו?

תחרות כמו בשנה שעברה

האם גם השנה, בדומה לשנה שעברה, תיערך תחרות בחנוכה בנושא פתרון תרגילים הקשורים לצורות ז'ורדן?

ערכים עצמיים

האם זה אפשרי שיהיו לי 5 ע"ע שונים (ממשיים) למטריצה ממשית של 4 על 4?

• (לא מתרגל) לא, כי אז הפולינום האופייני הוא ממעלה 5 (לפחות), מה שלא ייתכן.

מערכי תרגול מעודכנים (תיכוניסטים)

אפשר בבקשה להעלות מערכי תרגול בנושאים שלמדנו בהרצאות/תרגולים האחרונים, שעוד לא עלו?

איך מוכיחים שלמטריצות דומות יש אותו פולינום מינימלי?

אני לא הבנתי את ההוכחה שנתנו לנו בתרגול על זה..

• (לא מתרגל)

יהי פולינום f, נסמנו [math]\displaystyle{ f(x)=a0+a1x1+...+akx^k }[/math]

לפי הנתון, קיימת P הפיכה כך שמתקיים [math]\displaystyle{ P^{-1}AP=B }[/math]

לכן מתקיים:

[math]\displaystyle{ P^{-1}f(A)P=P^{-1}(a0I+...+akA^k)P=a0I+a1P^{-1}AP+...+akP^{-1}A^kP=a0I+...+B^k }[/math]

כאשר נזכור כי לכל i מתקיים [math]\displaystyle{ B^i=P^{-1}A^iP }[/math].

ולכן בסה"כ מתקיים [math]\displaystyle{ P^{-1}f(A)P=f(B) }[/math].

היות והמטריצה P הפיכה, אפשר לאמר כי [math]\displaystyle{ f(A)=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ f(B)=0 }[/math], ובמילים - כל פולינום שמאפס את A מאפס גם את B וההיפך.

כעת נביט בפולינום המינימלי של A, נסמנו mA. היות והוא מאפס, הוא יאפס גם את B לפי מה שהוכחנו לעיל, ולכן [math]\displaystyle{ mA(B)=0 }[/math]. כעת, לפי טענה שהוכחנו, הפולינום המינימלי של B מחלק כל פולינום שמאפס את B, ולכן מתקיים [math]\displaystyle{ mB(x)|mA(x) }[/math].

באופן דומה, היות והפולינום המינימלי של B מאפס את B, הוא גם יאפס את A, ולכן [math]\displaystyle{ mB(A)=0 }[/math], ומכאן [math]\displaystyle{ mA(x)|mB(x) }[/math].

בסה"כ שניהם מחלקים זה את ראהו, ושניהם מתוקנים, ולכן שווים.

הבנתי תודה רבה :)

שאלה לגבי מבנה הבוחן

הבוחן ב11.12 יהיה מורכב מהוכחת משפט או מיישום קבוצת משפטים על מטריצה?

הפולינום המינימלי של מטריצת אלכסונית בלוקים.

מישהו יכול להביא לי את ההוכחה שהפולינום המינימלי של מטריצה אלכסונית בלוקים הוא ה lcm של הפולינומים המינימלים של הבלוקים?

פתרונות לתרגילים (תיכוניסטים)

בבקשה תעלו את הפתרונות של התרגילי בית שנוכל לחזור עליהם לפני הבוחן ולבדוק את הטעויות שלנו. דגש על הפתרון של תרגיל 5. אודה לכם אם תעשו זאת עוד לפני שבת! תודה רבה!

לא מצליח לג'רדן מטריצה

איך אמורים לג'רדן את המטריצה:

[math]\displaystyle{ A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} }[/math]

היא ניליפוטנטית מסדר 2, לכן צריך למצוא את [math]\displaystyle{ N(A)\cap C(A) }[/math], ויצא לי ש [math]\displaystyle{ Ae_2 }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ C(A) }[/math], ולכן החלק הראשון של המטריצה המג'רדנת היא [math]\displaystyle{ Ae_2, e_2 }[/math]. איך אני אמור להמשיך מפה?

תודה.

• (לא מתרגל) ראינו שצריך למצוא בסיס בצורת מסלול ל[math]\displaystyle{ N(A)\cap C(A^{ k-1 }) }[/math]. לאחר מכן, להשלים אותו לבסיס עבור [math]\displaystyle{ N(A)\cap C(A^{ k-2 }) }[/math] וכו' וכו'.

אם הגענו למצב שבו צריך להשלים לבסיס עבור [math]\displaystyle{ N(A)\cap C(A^{ k-k })=N(A) }[/math], פירושו שיהיו בהצגה האלכסונית בלוקי ג'ורדן מהצורה [math]\displaystyle{ { J }_{ 1 }(0) }[/math], כי הוקטורים עצמם נמצאים [math]\displaystyle{ N(A) }[/math]. ואכן, אם תמצא את מרחב האפס תקבל כי הוא מורכב מe1 וכן מהוקטור [math]\displaystyle{ (0,-1,1)^{ t } }[/math]. הוקטור e1 כבר מופיע בבסיס הכללי ולכן נשמיט אותו.

לסיכום, הבסיס מתחיל במה שאמרת ומסתיים בוקטור [math]\displaystyle{ (0,-1,1)^{ t } }[/math], וההצגה היא [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]

תודה רבה, ועוד שאלה יש דרך לדעת איך תראה כבר המטריצה המג'ורדנת, רק מהתבוננות בפולינום המינימלי והאופייני?

(לא מתרגל / מרצה) אי אפשר ממש לדעת איך בדיוק זה ייראה, אבל אפשר לקבל כיוון לפי החוקים הבאים:

1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.
2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.
3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.

מקווה שעזרתי --גיא 12:28, 8 בדצמבר 2012 (IST)

מישהו יודע להסביר למה האלגוריתם לז'רדון נילפוטנטי נכון ?

• (לא מתרגל) זה נובע בעיקר מההוכחה של משפט ג'ורדן הנילפוטנטי בקובץ של ד"ר צבאן, וההסבר המלא מתחיל אחרי סעיף 5, עד לסוף של סעיף 5.6. [1]

הרעיון הכללי והבסיסי הוא שאופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול. לכן המטרה היא למצוא בסיס שמורכב ממסלולים. לרוב מסלול אחד לא עושה את העבודה, ויש צורך בכמה מסלולים שייצרו בלוקי ג'ורדן נפרדים. כדי למצוא את הבסיס שמורכב ממסלולים זרים, פועלים לפי האלגוריתם, ובהוכחת טענה 5.6 אפשר להבין למה זה באמת בסיס (בת"ל ופורש). לאחר שהבנו שזה אכן בסיס, ברור לפי הטענה לעיל (אופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול) שנקבל בעצם הצגה בצורה של ג'ורדן - על האלכסון יש בלוקי ג'ורדן, כי כל פעם ההעתקה מוצגת לפי מסלול (לכן גם חשוב הסדר בתוך המסלולים בבסיס, אחרת לא היינו מקבלים צורת ג'ורדן).

איך אפשר לדעת איך תראה המטריצה המז'ורדנת?

אחרי שחישבתי את הבסיס המז'רדן ושמתי אותו בעמודות מטריצה P, איך אני יכול לראות איך תראה המטריצה המז'ורדנת, מבלי למצוא את P^-1 ולהכפיל בינהם?

(לא מתרגל / מרצה) אם כבר מצאת את P, למה כבר לא להכפיל את הכל ולגמור את הסיפור? בכל מקרה, הנה כמה כללים:

1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.

2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.

3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.

בהצלחה בשלישי :) --גיא 17:06, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אבל אם יתנו לנו מטריצה 4x4 שזה יהיה סיפור להפוך אותה. אין אפשרות במהלך הז'ירדון כבר לראות איך המטריצה המז'ורדנת תיראה, מבלי ממש לבדוק (לבדוק את P^-1AP)?

(לא מתרגל / מרצה) אם יבקשו ממך לז'רדן את המטריצה אז תהיה חייב לבצע את כל התהליך, כולל ההפיכה --גיא 18:36, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אה אוקי... טוב תודה :)

שאלה לגבי שאלה5 תרגיל 6

מה הכוונה בשאלה 5 כשכתוב "להוכיח את משפט ג'ורדן עבור מטריצות ממשפט ג'ורדן"? לכתוב הוכחה גם עבור מטריצה נילפוטנטית וגם למטריצה כללית (עם ע"ע שונים מ0) ?

• (לא מתרגל) מה שצריך לעשות זה להוכיח את המשפט:

לכל מטריצה ריבועית A כך שהפ"א שלה מל"ל, A דומה למטריצה בצורת ג'ורדן. לפי התרגיל, צריך לעשות זאת בעזרת משפט ג'ורדן עבור אופרטורים. במילים אחרות - לצאת מנקודת הנחה שהמשפט נכון לאופרטורים, להוכיח בעזרת זה את המשפט עבור מטריצות.

מה זאת אומרת? אפשר פשוט לשים את הבסיס המז'רדן בתור עמודות מטריצה ולהגיד שזה המטריצה המז'רדנת? זה מה שהם רצו שנעשה?

• מי אמר? אם את/ה חושב/ת שזה נכון, מוזמנ/ת להוכיח.

נסתכל על A כשהעתקה לינארית, לפי ההנחה יש לה בסיס מז'רדן (נניח B), נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P, ולפי ההגדרה של דמיון מטריצות (שזה בעצם מעבר בין בסיסים) מקבלים ש A דומה למטריצה עם בלוקי ג'ורדן

• "כשהעתקה הלינארית..." - איזו העתקה לינארית?

"כהעתקה לינארית", בלי ש' טעות שלי P:

תרגיל 7 שאלה 1

בשאלה 1 נראה לי שמצאתי הפרכה: יהי [math]\displaystyle{ \lt w,v\gt =0 \Leftarrow v=0 }[/math] וזה מתקיים לדוגמא ל- [math]\displaystyle{ w=(1,1,1,1,1,...,1)\neq 0 }[/math]

• (לא מתרגל) נתון כי הדבר נכון לכל v בV, לא רק לv יחיד שבחרת.

(לא מתרגל)צריך להוכיח בשאלה שלכל V מתקיים w,v>=0> גורר W=0 ולכן הפרכה של הטענה הזאת היא: שקיים V עבורו w,v>=0> לא גורר W=0. ולכן הוא הפריך את הטענה הזאת - יש טעות בשאלה הגרירה נכונה רק לכיוון אחד... (וגם אם זה נכון אז כל וקטור מאונך רק ל0...)

• (לא מתרגל) לא נכון, זו לוגיקה בסיסית - ההפרכה היא: אם w שונה מאפס בכל מקרה לכל v בV מתקיים 0=<w,v>. ואת זה אי אפשר להפריך, מוזמנים לנסות.

הטענה שציינת, האומרת שכל וקטור מאונך רק לאפס - שגויה. מדובר פה בווקטור שמאונך לכל הווקטורים במרחב, וכזה הוא רק וקטור האפס. לא תמצא עוד אחד כזה, ואם אני אגיד למה אז אני למעשה פותר את השאלה.

(לא מתרגל / מרצה) הכוונה היא שהתנאי הימני הוא לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \lt w,v\gt =0 }[/math] --גיא 15:57, 21 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 7 שאלה 3

בשאלה 3 לדעתי חסר נתונים לסעיף א' לפחות, כי בהוכחת האי-שליליות, [math]\displaystyle{ \lt f,f\gt \lt 0 }[/math] אם מקדמי הפולינום [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] הם שליליים, או אם [math]\displaystyle{ a\gt b }[/math] וכן הלאה.. כלומר לדעתי צריך להוסיף שם כמה תנאים כדי שההוכחה תהיה נכונה.. לא

תרגיל 7 שאלה 3 (תיכוניסטים)

באי שליליות, איך אני מוכיח שהאינטגרל המסוים הזה תמיד חיובי (או שווה לאפס...)?

מצטרף לשאלה.

כנ"ל P:

תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3

אם אני בוחר b=1 a=0 ו f=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

(לא מתרגל / מרצה) לא נכון, כי [math]\displaystyle{ \left \langle x^3-x,x^3-x \right \rangle = \int_0^1(x^3-x)^2 dx=\int_0^1 (x^6-2x^4+x^2)dx=\left [ \frac{1}{7}x^7-\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{3}x^3 \right]_0^1=\frac{1}{7}-\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=\frac{8}{105}\neq 0 }[/math] --גיא 19:40, 21 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 7 שאלה 3

מה ההגדרה המדויקת של צמוד של פולינום?

(לא מתרגל / מרצה) הצמוד של פולינום מתקבל מהצמדת כל המקדמים שלו (ללא שום קשר למשתנה). למשל, הצמוד של הפולינום [math]\displaystyle{ \ f(z) = z^2+(2+i)z + 3i }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \ \bar{f}(z) = z^2 + (2-i)z - 3i }[/math]. --גיא 19:55, 21 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 7 שאלה 4

יכול להיות שלא הבנתי את התרגיל נכון אבל נראה לי שמצאתי לו הפרכה.. מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], הבסיס הוא [math]\displaystyle{ {(1,0),(0,1)} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ c1=0 , c2=1 }[/math] וקל לראות שמתקיים [math]\displaystyle{ \lt (0,2),v1\gt =c1=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \lt (0,3),v1\gt =c1=0 }[/math]

(לא מתרגל / מרצה) אבל עם הוקטור השני זה שונה מ-1 --גיא 20:19, 21 בדצמבר 2012 (IST)

^^מה?

(לא מתרגל / מרצה) שים לב שאתה צריך לכל איבר בבסיס שהמכפלה הפנימית תהיה הסקלר שבחרת. עבור [math]\displaystyle{ v_2 }[/math] לא שניהם יתנו את 1 (התוצאה תלויה במכפלה הפנימית) --גיא 14:25, 22 בדצמבר 2012 (IST)

רגע כשהם אומרים למצוא w כזה,הם מתכוונים שקיים w יחיד שמקיים את זה, או שלכל i צריך למצוא wi כזה, ולהוכיח שעבור ה i הספציפי הזה, קיים רק wi יחיד כזה?

(לא מתרגל / מרצה) למצוא [math]\displaystyle{ w }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ i }[/math] יתקיים [math]\displaystyle{ \langle w,v_i\rangle = c_i }[/math], ולא עבור כל [math]\displaystyle{ i }[/math] בנפרד --גיא 15:15, 22 בדצמבר 2012 (IST)

אהההה אוקי.

תרגיל 7 שאלה 3

אם בוחרים [math]\displaystyle{ f(x)=1/x }[/math], ובוחרים [math]\displaystyle{ a=1, b=2 }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ F(x)=-(1/2)/x^2 }[/math], [math]\displaystyle{ F(a)=F(1)=-(1/2)/1^2=-(1/2), F(b)=F(2)=-(1/2)/2^2=-(1/8) }[/math], [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \lt f,f\gt =\int_{a}^{b}(f(x))^2dx=(F(b))^2-(F(a))^2=(-(1/8))^2-(-(1/2))^2\lt 0 }[/math], וזו סתירה לאי-שליליות

(לא מתרגל / מרצה) לא נכון. אם ניקח [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ (f(x))^2=\frac{1}{x^2} }[/math], ואז [math]\displaystyle{ \int (f(x))^2 dx=\int \frac{1}{x^2} dx=\int x^{-2} dx=\frac{1}{-2+1}\cdot x^{-2+1}=-\frac{1}{x}=F(x) }[/math], ואז [math]\displaystyle{ \int^2_1 (f(x))^2 dx=F(2)-F(1)=-\frac{1}{2}-(-\frac{1}{1})=0.5\gt 0 }[/math] כדרוש. מעבר לכך - הוא לא פולינום --גיא 15:14, 22 בדצמבר 2012 (IST)

לימודים ביום ראשון

משהו יודע אם יש לימודים ביום ראשון הקרוב כי אמרו לנו שאין בגלל צום אבל מלי לא שלחה שום הודעה. יכול להיות שאין הרצאות אבל יש תירגול ?

(לא מתרגל / מרצה) אין לימודים. קרא כאן --גיא 17:17, 22 בדצמבר 2012 (IST)

מטריצת גראם

מטריצת גראם בהכרח הפיכה?

(לא מתרגל / מרצה) מטריצת גראם הפיכה אם ורק אם קבוצת הוקטורים שלפיה היא בנויה (לדוגמה בסיס של המרחב הוקטורי) הוא בת"ל. --גיא 22:41, 22 בדצמבר 2012 (IST)

אפשר להשתמש במשפט הזה בשעורי בית?

???

בשאלה 6 תרגיל 7 תיכוניסטים

בסעיף ב' הם אומרים "אורתוגונליים זה לזה". תחת איזו מכפלה פנימית הם אמורים להיות אורתוגונליים? יש הרבה מכפלות פנימית..

(לא מתרגל / מרצה) אני חושב שזה לא משנה, כיוון שאם וקטורים אורתוגונליים המכפלה הפנימית שלהם תהיה 0 לכל מכפלה פנימית. אבל עדיף לחכות לתשובה של מתרגל או לנסות להוכיח את זה לבד --גיא 22:39, 22 בדצמבר 2012 (IST)

מה שאמרת לא נכון אורתוגונליות תלויה בהגדרת מכפלה פנימית.

(לא מתרגל / מרצה) צודק --גיא 16:51, 24 בדצמבר 2012 (IST)

אז רגע מספיק צריך להוכיח שזה נכון למכפלה הפנימית וזהו?

תרגיל 7 בשאלה 5

בשאלה הם רוצים שתחילה נוכיח שזה אכן מכפלה פנימית על R[X[, ואז למצוא את מטריצת גראם ביחס לבסיס הנתון?

(לא מתרגל / מרצה) כן. --גיא 22:38, 22 בדצמבר 2012 (IST)

אוקי תודה :)

שאלה 5

מישהו יכול להביא לי דוגמא למכפלה שבשאלה? אני פשוט לא הבנתי מה המכפלה עושה..

(לא מתרגל / מרצה) לדוגמה, [math]\displaystyle{ \langle x+1, -2x\rangle = \frac{1\cdot (-2)}{1+1+1}+\frac{1\cdot (-2)}{0+1+1}=-\frac{2}{3}-\frac{2}{2}=-1\frac{2}{3} }[/math]. --גיא 18:31, 23 בדצמבר 2012 (IST)

אז זה בעצם עבור i = 1 עושים את כל ה j-ים, ואז עבור i = 2 עושים עוד פעם את כל ה j-ים, וכך הלאה?

(לא מתרגל / מרצה) אם הבנתי אותך נכון אז כן --גיא 20:51, 24 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 7 שאלה 4 תיכוניסטים

האם הכוונה שלכל i מתקיים <w,vi>=ci או שרק לi יחיד?

לכל i

תרגיל 7 שאלה 3

האם מותר להשתמש בכך שאינטגרל מסוים זה בעצם שטח למרות שלא הוכחנו את זה?