88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/8: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "==1== תהי <math>A\in\mathbb{C}^{n\times n}</math> המקיימת <math>A=A^*</math>. הוכיחו כי <math>N(A)=N(A^2)</math> (רמז: השתמשו במכפל...")
 
שורה 12: שורה 12:


==3==
==3==
יהי V ממ"פ ממימד n, ויהי W תת מרחב של V מימד k.
===א===
יהי <math>B=\{w_1,...,w_k\}</math> בסיס א"נ ל W.
יהיו <math>v_{k+1},...,v_n</math> המשלימים את הבסיס B להיות בסיס למרחב V.
לכל <math>k+1\leq i \leq n</math> נסמן:
::<math>v'_i=v_i-\pi_W(v_i)</math>
הוכיחו כי <math>\{w_1,...,w_k,v'_{k+1},...,v'_n\}</math> בסיס ל V
===ב===
הוכיחו את משפט הפירוק הניצב <math>W\oplus W^\perp=V</math>
===ג===
מצאו את צורת הז'ורדן של אופרטור ההיטל <math>\pi_W</math>
==4==

גרסה מ־18:39, 26 בדצמבר 2012

1

תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ A=A^* }[/math]. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ N(A)=N(A^2) }[/math]

(רמז: השתמשו במכפלה הפנימית הסטנדרטית בדומה למה שראינו בתרגול)

2

תהי [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{R}^{3\times 3} }[/math] מטריצה אוניטרית המקיימת [math]\displaystyle{ |A|=1 }[/math].

הוכיחו כי [math]\displaystyle{ (tr(A))^2-tr(A^2)=2tr(A) }[/math]

(רמז: מה עשויים להיות הע"ע של A?)

3

יהי V ממ"פ ממימד n, ויהי W תת מרחב של V מימד k.

א

יהי [math]\displaystyle{ B=\{w_1,...,w_k\} }[/math] בסיס א"נ ל W.

יהיו [math]\displaystyle{ v_{k+1},...,v_n }[/math] המשלימים את הבסיס B להיות בסיס למרחב V.


לכל [math]\displaystyle{ k+1\leq i \leq n }[/math] נסמן:

[math]\displaystyle{ v'_i=v_i-\pi_W(v_i) }[/math]


הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \{w_1,...,w_k,v'_{k+1},...,v'_n\} }[/math] בסיס ל V

ב

הוכיחו את משפט הפירוק הניצב [math]\displaystyle{ W\oplus W^\perp=V }[/math]

ג

מצאו את צורת הז'ורדן של אופרטור ההיטל [math]\displaystyle{ \pi_W }[/math]

4