בקיצור, מה עושים?
== בדיקת התכנסות של האינטגרל הבא: ==
<math>\int_{0}^{\infty }((x+1)sinx)/x\sqrt{x}</math>
יש 2 נקודות בעייתיות: אפס ואינסוף. אפס בעייתית כי:
<math>\lim_{x->0}((x+1)sinx)/x\sqrt{x}=\lim_{x->0}(x+1)/\sqrt{x}=1/0=\infty </math>
בגלל שיש 2 נקודות בעייתיות, נפצל לשניי חלקים:
<math>\int_{0}^{\infty }(x+1)sinxdx/x\sqrt{x}=\int_{0}^{1}(x+1)sinxdx/x\sqrt{x}+\int_{1}^{\infty }(x+1)sinxdx/x\sqrt{x}</math>
נטפל באינטגרל השמאלי:
נסמן את הפונקציה מתחת לאינטגרל ב-f(x).
בסביבת 0, f(x) מתנהגת כמו g(x)=x^0.5.
'''שאלה 1:''' האם האינטואיציה שלי בבחירת g(x) נכונה?
הגעתי לכך ש-g(x)=x^0.5 באופן הבא:
הסתכלתי על f, ובסביבת אפס sinx/x-->1
כמו כן, בסביבת אפס x+1)-->1)
לכן f מתנהגת בסביבת אפס כמו <math>1/\sqrt{x}</math>.
לכן g(x)=x^0.5.
כעת אני משתמש במבחן ההשוואה גבולי: (חישבתי גבול בסביבת הנקודה הבעייתית - 0.
<math>\lim_{x->0}f(x)/g(x)=\lim_{x->0}(x^(0.5) (x+1)sinx)/x^(1.5)=1</math>
קיבלנו גבול סופי ושונה מאפס.
<math>\int_{0}^{1}g(x)dx</math> מתכנס (1/2<1) ולכן גם <math>\int_{0}^{1}f(x)dx</math> מתכנס לפי מבחן ההשוואה.
'''שאלה 2''': האמת ש-sinx לא פונקציה חיובית בכלל...אני יכול בכלל להשתמש כאן במבחן ההשוואה? מה שעשיתי נכון?
עכשיו אמשיך לאינטגרל השני (בין 1 לאינסוף):
שוב, נסמן את הפונקציה מתחת לאינטגרל ב-f(x) (למעשה זו אותה פונקציה כמו קודם).
נרשום אותה כך: <math>f(x)=g(x)h(x)</math>
כאשר: <math>g(x)=(x+1)/x\sqrt{x} </math> ו- <math>h(x)=sinx </math>
הפונקציה הקדומה של h(x) חסומה.
הסבר:
<math>\int_{1}^{t} h(x)= \int_{1}^{t}sinx=-cos(t)-cos1\leq 2</math>
לגבי <math> g(x)=(x+1)/x\sqrt{x}</math> . היא שואפת ל-0 כאשר x שואף לאינסוף, '''שאלה 3: והיא יורדת (לגבי יורדת אני לא בטוח. איך אני מראה את זה?)'''
אם מה שאמרתי נכון, אז לפי מבחן דיריכלה, האינטגרל השני מתכנס.
לכן האינטגרל כולו מתכנס, כסכום של שניי אינטגרלים מתכנסים.
'''שאלה 4''': האם ההוכחה הזו טובה?
'''שאלה 5''': בשאלה שאלו האם האינטגרל מתבדר/מתכנס בהחלט/מתכנס בתנאי. אחרי שהראיתי שהאינטגרל מתכנס (במידה ומה שעשיתי נכון בכלל..) איך אני בודק האם הוא מתכנס בהחלט או מתכנס בתנאי?
תודה מראש!!