83-110 לינארית להנדסה תשעד סמסטר א/מערכי תרגול: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה מ־07:28, 20 בדצמבר 2013

הנה הטענה שהבטחתי להוכיח: יהיו [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ מימד סופי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], [math]\displaystyle{ W }[/math] ת"מ שלו. אזי [math]\displaystyle{ (W^{\perp})^{\perp}=W }[/math]

הוכחה: נוכיח רק את הכיוון [math]\displaystyle{ (\subseteq) }[/math] (הכיוון השני פשוט ועשינו בכיתה): יהא [math]\displaystyle{ x\in (W^{\perp})^{\perp} }[/math] צ"ל [math]\displaystyle{ x\in W }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ V }[/math] ממימד סופי אזי ניתן למצוא בסיס או"ג ל [math]\displaystyle{ W }[/math] ולמצוא הטלה [math]\displaystyle{ u=\pi_W(x) }[/math] של [math]\displaystyle{ x }[/math] על [math]\displaystyle{ W }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ x=u+(x-u) }[/math]ומהגדרת היטל מתקיים [math]\displaystyle{ u\in W, (x-u)\in W^{\perp} }[/math].

כלומר [math]\displaystyle{ x=x_1+x_2 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x_1\in W, x_2\in W^{\perp} }[/math] ובפרט [math]\displaystyle{ \lt x_1,x_2\gt =0 }[/math].

כעת רוצים להוכיח כי [math]\displaystyle{ x_2=0 }[/math].

כיוון ש [math]\displaystyle{ x\in (W^{\perp})^{\perp} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \forall v\in W^{\perp}:\lt x,v\gt =0 }[/math] בפרט עבור [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \lt x,x_2\gt =0 }[/math]. ולכן

[math]\displaystyle{ ||x_2||^2=\lt x_2,x_2\gt =\lt x_2,x_2\gt +\lt x_1,x_2\gt =\lt x_2+x_1,x_2\gt =\lt x,x_2\gt =0 }[/math]

שזה גורר [math]\displaystyle{ x_2=0 }[/math] כנדרש

@@ שורה 12: / שורה 12: @@
 *[[מדיה:14LinearEng9.pdf|תירגול 9]]
 *[[מדיה:14LinearEng10.pdf|תירגול 10]]
+הנה הטענה שהבטחתי להוכיח: יהיו <math>V</math> ממ"פ מימד סופי מעל <math>\mathbb{F}</math>,
+<math>W</math> ת"מ שלו. אזי <math>(W^{\perp})^{\perp}=W</math>
+הוכחה: נוכיח רק את הכיוון <math>(\subseteq)</math> (הכיוון השני פשוט ועשינו בכיתה):
+יהא <math>x\in (W^{\perp})^{\perp} </math> צ"ל <math>x\in W</math>. כיוון ש <math>V</math> ממימד סופי אזי ניתן למצוא בסיס או"ג ל <math>W</math> ולמצוא הטלה <math>u=\pi_W(x)</math> של <math>x</math> על <math>W</math>. מתקיים <math>x=u+(x-u)</math>ומהגדרת היטל מתקיים <math>u\in W, (x-u)\in W^{\perp}</math>.
+כלומר <math>x=x_1+x_2</math> כאשר <math>x_1\in W, x_2\in W^{\perp}</math>
+ובפרט <math><x_1,x_2>=0</math>.
+כעת רוצים להוכיח כי <math>x_2=0</math>.
+כיוון ש <math>x\in (W^{\perp})^{\perp} </math> אזי <math>\forall v\in W^{\perp}:<x,v>=0</math> בפרט עבור <math>x_2</math> מתקיים <math> <x,x_2>=0</math>.
+ולכן
+<math>||x_2||^2=<x_2,x_2>=<x_2,x_2>+<x_1,x_2>=<x_2+x_1,x_2>=<x,x_2>=0</math>
+שזה גורר <math>x_2=0</math> כנדרש
 *[[מדיה:13LinearEng10.pdf|תירגול 11]]
 *[[מדיה:13LinearEng11.pdf|תירגול 12]]
 *[[מדיה:13LinearEng12.pdf|תירגול 13]]
 *[[מדיה:13LinearEng13.pdf|תירגול 14]]