הבדלים בין גרסאות בדף "חקירת פונקציות"
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←תרגילים) |
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) |
||
שורה 184: | שורה 184: | ||
<math>f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}}</math> | <math>f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}}</math> | ||
לכן יש לה נקודה חשודה ב <math>x=e</math> | לכן יש לה נקודה חשודה ב <math>x=e</math> | ||
− | |||
הסימן של <math>f"</math> נקבע ע"י <math>-x-2x(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x))</math> | הסימן של <math>f"</math> נקבע ע"י <math>-x-2x(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x))</math> | ||
שורה 330: | שורה 329: | ||
עבור הדוגמא שלנו | עבור הדוגמא שלנו | ||
− | + | <math>lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty</math> | |
גרסה מ־15:23, 2 במרץ 2014
נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):
- תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
- זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
- תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
- תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
- אסימפטוטות מאונכות
- נקודות חיתוך עם הצירים
- אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
- תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה
הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות
תוכן עניינים
תרגילים
דוגמא מספר 1 - ![f(x)=x^{2}-6x+5](/images/math/c/e/f/cef9988f961c5a5e4754b35bfe1fc141.png)
תחום הגדרה
הגדרה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): תהא f(x)
פונקציה. תחום ההגדרה של
היא A- אוסף כל הנקודות בהם
מוגדרת
דוגמא: תחום ההגדרה של הוא כל הישר
זוגיות/אי זוגיות
הגדרה: תקרא זוגית אם
הגדרה:
תקרא אי זוגית אם
דוגמא: ולכן
אינה זוגית ואינה אי זוגית
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר x הן הנקודות
החיתוך עם ציר y היא הנקודה
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
הגדרה: תהא פונקציה. נאמר ש
עולה (יורדת) בתחום
אם
(
)
הגדרה: תהא
פונקציה.
תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה
כך ש
(או
)
משפט: אם
גזירה בנקודת קיצון
אזי
מסקנה: בשביל למצוא נקודות קיצון של
מספיק לבדוק מתי
או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל :
ולכן הנקודה החשודה היחידה היא
מקס' או מיני'
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
- בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב
ולכן 3 נקודת מיני הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
- בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (
מסתמך על העובדה כי : אם בקטע I
אזי הפונקציה יורדת שם. אם
אז הפונקציה עולה שם):
ולכן משמאל ל 3
הפונקציה יורדת ומימין ל 3
היא עולה ולכן 3
נקודות מיני'הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של
הוא
ותחום הירידה
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
- מבחן הנגזרת השניה- אם
ומתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0
(או עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)<0
)
אז נקודות מיני' (או מקס'):
אצלנו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=2
ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(2)>0
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
תהא גזירה בנקודה
אזי נאמר שהפונצקיה קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב
אם קיימת סביבה
של
כך שלכל
מתקיים:
()
נאמר ש נקודת פיתול אם קיימת סביבה
ימנית בה
וסביבה שמאלית
בה
או להיפך.
משפט: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): (f"(x_{0})<0)
אז
קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)
אינה קיימת או ש עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=0
דוגמא: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=2
ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
אסימטוטות
הגדרה: אסימטוטה אנכית ל
היא קו מהצורה
כך שמתקיים
אצלנו אין אסימטוטה אנכית.
הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר
המקיים
או
איך מוצאים ? מתקיים
ואז
דוגמא- אצלנו:
y
ולכן אין אסימטוטה אופקית
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
דוגמא 2: ![f(x)=\frac{\ln(x)}{x}](/images/math/4/5/f/45f5001c13b9e283a10a8c52100fc395.png)
תחום הגדרה
כי
לא מוגדרת עבור
-ים שליליים.
זוגיות/אי זוגיות
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר
הוא
החיתוך עם ציר y לא קיים בגלל תחום ההגדרה
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
לכן יש לה נקודה חשודה ב
הסימן של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"
נקבע ע"י![]()
ולכן זוהי נקודת מקס'
תחומי העלייה של הפונקציה
תחומי ירידה
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
הסימן של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"
נקבע ע"י
ולכן נקודות חשודות לפיתול הם
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(e)<0,f"(e^{4})>0
ולכן
נקודת פיתול
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב
אסימטוטות
אסימטוטה אנכית ב
כיוון ש
אסימטוטה אופקית:
ולכן
אסימטוטה אופקית
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
ציור הפונקציה
דוגמא 3: ![f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}](/images/math/5/7/7/5775bcef4c28804e9b69eb388c31a71f.png)
תחום הגדרה
תחום ההגדרה של הוא
זוגיות/אי זוגיות
ולכן
אי זוגית
נקודות קיצון
ולכן הנקודות החשודות הן
(נשים לב שהנקודות
)
אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה.
מקס' או מיני'
נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של
ולכן מימין ל
הפונקציה יורדת ומימין ל
היא עולה ולכן
נקודות מיני'
6 נקודת מקס
0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין ל-0 וגם משמאל
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
דוגמא:
אזי
ו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}}
הנקודות החשודות לפיתלול הם
הסימן של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)
נקבע לפי החלק
נבדוק עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)>0,f(4)<0
ומכאן מסיקים כי
בקטע
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה
בקטע
הפונצקיה קעורה כלפי מטה
בקטע
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה
בקטע
הפונצקיה קעורה כלפי מטה
ובנקודה 0 יש נקודות פיתול(כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה)
אסימטוטות
ל-
יש 2 אסימטוטות אנכיות ב
כי
אסימטוטה אופקית:
באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון
תצא אותו דבר.
ולכן אסימטוטה אופקית לשני הצדדים
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
ציור הפונקציה
משפטים לסיכום
אם
גזירה בנקודת קיצון x_{0} אזי
מבחן הנגזרת השניה- אם
ומתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0
אז
נקודות מיני'
אם
בקטע
אזי הפונקציה יורדת שם. אם
אז הפונקציה עולה שם
אם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0
אז קעורה כלפי מעלה ב-
מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)
אינה קיימת או ש עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=0