קוד:זוגיות ואי-זוגיות של פונקציה

\subsection{קביעת זוגיות ואי-זוגיות}

\begin{definition}

פונקציה נקראת \textbf{זוגית} אם לכל $x$ מתקיים $f(x)=f(-x)$. המשמעות הגיאומטרית: גרף הפונקציה סימטרי ביחס לציר $y$ (הישר $x=0$).

פונקציה נקראת \textbf{אי-זוגית} אם לכל $x$ מתקיים $f(x)=-f(-x)$. המשמעות הגיאומטרית: גרף הפונקציה סימטרי ביחס לישר $y=x$.

\end{definition}

\begin{example}

\begin{enumerate}

\item הפונקציות $x^2, x^4, \cos(x)$ זוגיות.

\item הפונקציות $x, x^3, \frac{1}{x}, \sin(x), \tan(x)$ אי-זוגיות.

\item הפונקציה $0$ גם זוגית וגם אי-זוגית (והיא היחידה שמשני הסוגים).

\item הפונקציה $e^x$ אינה זוגית ואינה אי-זוגית.

\end{enumerate}

\end{example}

כדי לקבוע אם פונקציה זוגית או אי-זוגית, רושמים את $f(-x)$ ומנסים לבדוק למה הוא שווה. יש כמה כללים:

\begin{thm}

יש לנו כמה כללים לקביעת זוגיות או אי-זוגיות:

\begin{enumerate}

\item סכום:

\begin{enumerate}

\item סכום של פונקציות זוגיות הוא פונקציה זוגית.

\item סכום של פונקציות אי-זוגיות הוא פונקציה אי-זוגית.

\end{enumerate}

\item מכפלה:

\begin{enumerate}

\item מכפלה של פונקציות זוגיות היא פונקציה זוגית.

\item מכפלה של פונקציות אי-זוגיות היא פונקציה זוגית.

\item מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.

\end{enumerate}

\item הרכבה:

\begin{enumerate}

\item הרכבה של פונקציות זוגיות היא פונקציה זוגית.

\item הרכבה של פונקציות אי-זוגיות היא פונקציה זוגית.

\item הרכבה של פונקציה על פונקציה זוגית היא פונקציה זוגית (כלומר, אם $f$ זוגית ואם $g$ פונקציה אז $g\circ f$ זוגית).

\end{enumerate}

\item גזירה:

\begin{enumerate}

\item נגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי-זוגית.

\item נגזרת של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.

\end{enumerate}

\item אינטגרציה (למרות שעוד לא למדנו):

\begin{enumerate}

\item פונקציה קדומה של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.

\item לפונקציה זוגית יש רק פונקציה קדומה אחת שהיא אי-זוגית (זו שבה המקדם החופשי הוא אפס).

\item האינטגרל של פונקציה אי-זוגית על קטע סימטרי (סופי) הוא אפס.

\end{enumerate}

\item לכל פונקציה אי-זוגית $f$ מתקיים $f(0)=0$.

\end{enumerate}

\end{thm}