שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

• ארכיון 1

שאלות

פעולות שורה ועמודהֿ

רק כדי להיות בטוח- דט' של מט' שהפעלנו עליה פעולות שורה וגם עמודה, שווה לדט' של המטריצה המקורית, נכון?

(לא מתרגל/ת): לא: [math]\displaystyle{ -2=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\ne\begin{vmatrix}4&4\\6&4\end{vmatrix}=-8 }[/math] למרות שהכפלנו את השורה הראשונה והעמודה הראשונה ב-2. עם זאת, הדט' של מט' שהפעלנו עליה החלפת שורות וגם עמודות או הוספת מכפלת שורה/עמודה בסקלר - שווה לדט' של המטריצה המקורית (כי הוספת מכפלת שורה/עמודה בסקלר לא משנה את הדטרמיננטה והחלפת שורות k פעמים ב-A ו-k פעמים ב-[math]\displaystyle{ A^T }[/math] מכפילה את הדט' ב-[math]\displaystyle{ (-1)^{2k}=1 }[/math]). אור שחף^שיחה 11:39, 8 בנובמבר 2010 (IST)

גם לא מתרגלת: אבל למדנו שאחרי כפל שורה במטריצה פי a צריך לחלק את הדטרמיננטה ב-a. אז בהנחה שכך זה גם לגבי עמודה, אם כפלת פעמיים פי 2, צריך לחלק ב-4 ואז יצא שיוויון. כך שזו לא דוגמה נגדית כלל. אז אני מצטרפת לשאלה!

כל שני מספרים שווים עד כדי כפל בקבוע, זה לא אומר שהם שווים באמת. --ארז שיינר 21:46, 8 בנובמבר 2010 (IST)

(לא מתרגל/ת): תשובה נוספת: כמובן שדט' של מט' שהפעלנו עליה פעולות שורה וגם עמודה ושחילקנו אותה (את הדטרמיננטה) בכל הסקלרים שבהם הכפלנו את השורות והעמודות, שווה לדט' של המטריצה המקורית, אבל זו לא הייתה השאלה. אור שחף^שיחה 22:12, 8 בנובמבר 2010 (IST)

מרחב וקטורי נוצר סופית

מותר לנו להניח שכל המרחבים הוקטורים בתרגילים הם ממימד סופי, גם אם זה לא מצויין מפורשות? אור שחף^שיחה 20:05, 8 בנובמבר 2010

עדי: בגדול כן, תהיה ממוקד על שאלה ליתר בטחון.

תרגיל 4 שאלה 2

בתרגיל כתוב למצוא את [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] על ידי שימוש בפרוק [math]\displaystyle{ A=PDP^{-1} }[/math]. לא הבנתי מה הכוונה, הדבר היחיד הקשור שמצאתי זה ש- [math]\displaystyle{ A^{-1}=PD^{-1}P^{-1} }[/math] אבל אם כבר מחשבים את [math]\displaystyle{ D^{-1} }[/math] אז פשוט יותר לחשב את [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] בדרך ה"רגילה" (דירוג (A|I)) וזהו, לא?

בעצם מהי הדרך הפשוטה והקצרה ביותר לחשב את [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math]?

עבור [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{2\times2} }[/math] הדרך הפשוטה ביותר היא [math]\displaystyle{ \mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix} }[/math]

ועבור [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{3\times3} }[/math]: [math]\displaystyle{ \mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & k\\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix} \, A & \, D & \,G \\ \, B & \, E & \,H \\ \, C & \,F & \, K\\ \end{bmatrix} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \begin{matrix} A = (ek-fh) & D = (ch-bk) & G = (bf - ce) \\ B = (fg-dk) & E = (ak-cg) & H = (cd-af) \\ C = (dh-eg) & F = (bg-ah) & K = (ae-bd) \\ \end{matrix} }[/math]

(מתוך ויקי האנגלית). באופן כללי עדיף לחשב לפי דירוג או adj (מתוך השיטות שכבר למדנו. בוויקיפדיה העברית כתוב שיש שיטות הרבה יותר יעילות, אבל לא נוח ליישם אותן). עם זאת, זה לא רלוונטי כי בתרגיל ביקשו דווקא לפי PDP^-1.

תודה על התשובה. זה בעצם [math]\displaystyle{ adj(A)/det(A) }[/math] ולמדנו את זה. אני לא רואה היגיון בלחשב את [math]\displaystyle{ D^{-1} }[/math] באמצעות שיטה לבחירתי, ואז לחשב את [math]\displaystyle{ P^{-1} }[/math], ואז לכפול שלוש מטריצות, וכל זה במקום חישוב יחיד של [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] בדרך לבחירתי. למה זה?? אגב, בטוח שהדירוג של (A|I) לא קצר יותר מחישוב [math]\displaystyle{ adj(A)/det(A) }[/math]?

מה מיוחד במטריצה D? להפוך אותה לוקח שנייה וחצי ולא צריך שום אלגוריתם. --ארז שיינר 23:45, 8 בנובמבר 2010 (IST)

אה התבלבלתי בסימון, התכוונתי להפוך את P באמצעות שיטה לבחירתי, ואז להפוך את D, ואז לכפול שלוש מטריצות. החישוב של ההפוכה ל-P הוא מסובך כמו החישוב של ההפוכה של A, לא? אז איפה ההיגיון...

כי עם P^-1 אפשר לחשב גם את A³. אמנם 3 זה לא הרבה, אבל מה אם היו שואלים אותנו על A²⁰? או על A¹⁰⁰⁰⁰? אפילו wolframalpha ויתר. ובלי שום קשר - תשובה?. אור שחף^שיחה 00:00, 9 בנובמבר 2010 (IST)

אופס, בעצם הוא לא ויתר. פשוט אין לו כוח להציג את <צונזר על מנת לשמור על שפיות הדף> אבל ב-100000000 הוא נכנע.

חח טוב השתכנעתי, תודה.

שאלה 1

איך מגיעים מכך ש [math]\displaystyle{ (A-xI)v=0 }[/math] לזה ש A לא הפיכה? תודה!

(לא מתרגל/ת): אתה מתכוון [math]\displaystyle{ A-xI }[/math] לא הפיכה? A דווקא יכולה להיות הפיכה, למשל אם A=I אז A הפיכה ועבור x=1 מתקיים [math]\displaystyle{ \exists v\ne\vec0:\ (A-xI)v=0 }[/math] (ולכן יש פתרון לא טריוויאלי ל-(A-xI) ולכן (A-xI) לא הפיכה). ובאותה הזדמנות, כבר 47 שעות לא קיבלתי תשובה פה. אור שחף^שיחה 19:11, 10 בנובמבר 2010 (IST)

כמו כן, למה כוונתך בשאלה 1? האם כוונתך היא לשאלה הראשונה בתרגול הבית? אם כן באיזה תרגול? או שסתם לשאלה אחת מבין כלל שאלותיך? אבקש, בשמי ושמם של אחרים שלהבא תרשום את מספרה המדויק של השאלה ומאיזה תרגול היא לקוחה, בכדי שנוכל להבין לאיזו "שאלה 1" אתה מתכוון. בכל אופן אם כוונתך היא לשאלה 3.3ב מתרגול 5, הסתמך על הטענה הראשונה באותו הסעיף והוכח בעזרתה את החלק השני של הסעיף. רמז: עבור אילו ערכים של [math]\displaystyle{ |A| }[/math] המטריצה לא תהיה הפיכה?

כמו כן - שאלה למתרגלים, מדוע נוצר הפיצול בין קבוצות הדיון? הרי בסופו של דבר אלו אותם השיעורים, ולכן ישאלו אותן השאלות, ובסופו של הדבר אני מאמין שאם מישהו ישאל שאלה בפורום מסוים והיא לא תיענה בו אז הוא ישאל את אותה השאלה גם בפורום השני. בברכה, גל.

כן שאלה 1 מהתרגיל- מן הסתם מהתרגיל הנוכחי, תרגיל 5, ונכון, התכוונתי ל A-xI ולא לA. אפשר עזרה לגבי A-xI? (הסתדרתי בפתרון כללי של התרגיל, אך אני רק צריך עזרה בהוכחת הטענה שבשאלתי). תודה!

(לא מתרגל/ת): לא הבנתי - יש לך בעיה להוכיח ש-[math]\displaystyle{ A-xI }[/math] לא הפיכה? כאמור: [math]\displaystyle{ \exists v\ne\vec0:\ (A-xI)v=0 }[/math], לכן יש פתרון לא טריוויאלי ל-(A-xI) ולפיכך (A-xI) לא הפיכה, מש"ל. אם זו לא הבעיה - תקן אותי. אור שחף^שיחה 21:40, 10 בנובמבר 2010 (IST)

למה אם יש פתרון לא טריוויאלי אז A-xI לא הפיכה?

כדאי שתחזור על החומר בלינארית 1, זה היה משפט. בכל אופן, ניתן להוכיח זאת בקלות: נניח בשלילה ש-[math]\displaystyle{ A-xI }[/math] הפיכה, כלומר קיימת [math]\displaystyle{ (A-xI)^{-1} }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ (A-xI)^{-1}\ (A-xI)=I }[/math]. נכפיל (מימין, כמובן) ב-[math]\displaystyle{ v\ne\vec0 }[/math] ונקבל

[math]\displaystyle{ \begin{align}&(A-xI)^{-1}\ (A-xI)v=Iv\\\implies&(A-xI)^{-1}\ \vec0=v\\\implies&\vec0=v\ne\vec0\end{align} }[/math]

בסתירה. אור שחף^שיחה 18:20, 11 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה 3.18

בסעיף א', מה זה אומר (הוכח שהפולינום....) "מאפס את A"?? מה זה מאפס? מאפס כשמציבים משהו? מאפס את הפולינום האופייני של A? ?

תשובה

הצבת מטריצה בפולינום (כמו בלינארית 1). יהי פולינום [math]\displaystyle{ f=a_nx^n+...+a_0 }[/math] ותהי A מטריצה ריבועית. אזי לפי הגדרה [math]\displaystyle{ f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I }[/math]. קל לראות ש [math]\displaystyle{ f(A) }[/math] מטריצה ריבועית מאותו גודל כמו A. A מאפסת את f אם המטריצה [math]\displaystyle{ f(A) }[/math] הינה מטריצת האפס. --ארז שיינר 19:23, 11 בנובמבר 2010 (IST)

אמרו להוכיח שהפולינום מאפס את A ולא A מאפסת פולינום. ואם הכוונה היא להציב את A בפולינום עם A במקום x, אז הניסוח של השאלה ממש אבל ממש לא ברור

עדיין לא הבנתי: מה צריך להראות? כי את העובדה ש [math]\displaystyle{ f_A(A)=0 }[/math] לא צריך להראות בכלל, זה תמיד מתקיים על פי קיילי המילטון. אז מה כן צריך לעשות? תודה

רשום בשאלה פולינום אופייני? רשומה מטריצה ופולינום, לכן נשאר מה להוכיח, ויש אפילו רמז. --ארז שיינר 05:06, 13 בנובמבר 2010 (IST)

ברמז מפנים אותך לשאלה שקשורה לפולינום אופייני, אבל הרגע אמרת שאין שום קשר לפולינום אופייני!

אתה חייב לנסות להבין יותר מאשר להסביר לי... יש קשר לפולינום אופייני, אבל לא נתון שזה פולינום אופייני. לכן אם רוצים לומר את זה צריך להסביר את זה ואז יש תרגיל + פתרון שלו. --ארז שיינר 15:37, 13 בנובמבר 2010 (IST)

עזרה במושגים

מהו הפולינום הזה שאפשר להציב בו מטריצות במקום סקלר (איך הוא נקרא\מסומן, התכונות שלו), יש לו קשר לפולינום האופייני? יש לו קשר לפולינום רגיל? ועוד 2 שאלות חשובות:

איך אפשר למצוא מטריצה שמאפסת פולינום? (האם יש אלגוריתם או דרך לפתרון)?

מה זה פולינום ש"מאפס את A"?

תודה

יעזור לקרוא את השאלה שבדיוק נמצאת מעליך.

אשמח לתשובות לכל השאלות שלא ניענות בשאלה שמעליי (וגם תשובה למה זה"מאפס את A", שאני לא בטוח עדיין מהי התשובה הנכונה). תודה

רשמתי שם באופן מדוייק כיצד מציבים מטריצה בפולינום (כל פולינום) ומתי אומרים שמטריצה מאפסת פולינום, תקרא היטב. לגבי איך מוצאים מטריצה מאפסת פולינום, זה בדיוק הסעיף הראשון. --ארז שיינר 14:36, 13 בנובמבר 2010 (IST)

לא, אני יודע מה זה למצוא מטריצה שמאפסת פולינום על פי ההגדרה, אבל איך אפשר למצוא את המטריצה בצורה יותר קלה מההגדרה? (אתה לא מצפה ממני לפתור 5 A בחמישית ועוד 3 A בשלישית וכו', נכון? או לעשות חזקות של מטריצה מסובכת עם מימדים nxn?)

לא מההגדרה, מהסעיף הראשון שם יש נוסחא מפורשת למטריצה שמאפסת פולינום כלשהו ... --ארז שיינר 15:36, 13 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 5? תרגיל 3?

למה בכותרת של תרגיל 5 כתוב תרגיל 3? שלא יצא ששמו בטעות משהו אחר...

תרגיל 5 שאלה 3.3

החלק הראשון של סעיף ב' נכון רק עד כדי [math]\displaystyle{ \pm }[/math], בתלות בזוגיות n. -לידור.א.- 14:23, 13 בנובמבר 2010 (IST) עדי:עד כדי +- זה בסדר גמור

שאלה 3.18 א'

עשיתי חישוב ישיר של A בריבוע, A בשלישית,..., A בחזקת n, ובסכום a0I+a1A+...+an-1A^n יוצא לי במקום מטריצת האפס, יוצא שהסכום הוא בדיוק 2A^n! זה נכון, או שהיית לי טעות? או שבכלל לא הבנתי את השאלה? קראתי בשאלות מעליי שיש קשר לפולינום האופייני אבל לא הבנתי מהו. פשוט חישבתי ישירות. גם לא הבנתי מה הקשר לתרגיל שברמז. אשמח להסבר מפורט ומובן ככל האפשר. תודה רבה מראש!

תשובה

(לא מתרגל/ת) כנראה הייתה טעות כי הצלחתי להוכיח את המבוקש, דבר שני איך בדיוק אפשר לחשב דבר כזה כאשר n הוא מספר כלשהו? הכיוון הוא יותר פשוט, כמו שנכתב קודם יש קשר לפולינום האופייני, מצא את הפולינום האופייני ולפי קיילי- המילטון A מאפסת אותו, אחרי שלבים אלה ההמשך פשוט.

חישבתי את זה ע"י חישוב A בריבוע (בעזרת שלוש נקודות כי יש המטריצה היא מגודל n על n), ואז A בשלישית, הבנת העקרון, שלוש נקודות, ואת A בחזקת n. אז הצבת המטריצות בפולינום וזה מה שיצא לי. אם זה לא נכון והפתרון הנכון היחיד הוא עם הפולינום האופייני, אשמח לעזרה בנושא, מכיוון שלא הבנתי את הקשר לפולינום האופייני, ואשמח לתשובה קצת יותר עמוקה מאשר הרמזים הקלושים והעפלוליים שכתובים בשפה מצרית עתיקה ושאותם צריכים מומחים לפענך כדי להבין מה הם אומר- כמו שארז בדרך כלל עונה. תודה

התבוננו בדף שהעלה לכאן ד"ר צבאן בנושא המטריצה הנלווית. אפשר לומר שדף זה ממש נותן את התשובה לסעיף א... גל א.

3.18 ד'

האם מותר להשתמש בטענה שמטריצות עם ערכים עצמיים שווים דומות? אשמח לקבל תשובה בהקדם, תודה לעוזרים

עדי: זה בדיוק מה שאומר הרמז בסוגריים

תרגיל 5 שאלה 3.3 ב

אני חושבת שזה לא נכון שבהכרח [math]\displaystyle{ f_A(0)=|A| }[/math] כי הרי [math]\displaystyle{ f_A(0)=|0*I-A|=|-A|=(-1)^n|A| }[/math]. אז אם n אי זוגי, [math]\displaystyle{ f_A(0)=-|A| }[/math] וזה לא בהכרח שווה ל-[math]\displaystyle{ |A| }[/math]. אז.. איפה טעיתי? עדי:עד כדי +- זה בסדר גמור