גרסה מ־12:10, 8 באוקטובר 2018

נושאי ההרצאות

שימו לב: נושאי ההרצאות יעודכנו במהלך הסמסטר לפי קצב ההתקדמות בפועל.

לוגריתמים.
מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x,\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}x^2-x }[/math]

הגדרת הגבול של סדרה במובן הצר.
גבול הוא יחיד.
- נניח בשלילה שיש שני גבולות שונים. החל משלב מסויים כל איברי הסדרה גדולים מאמצע הקטע בין שני הגבולות וגם קטנים ממנו, בסתירה.
הסדרה הקבועה.
כל סדרה המתכנסת במובן הצר חסומה.
אריתמטיקה (חשבון) גבולות.
- (אי שיוויון המשולש.)
- סכום.
- מכפלה.
- חלוקה (תרגיל לבית).

אינדוקציה.
ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.
אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
- חסומה כפול אפיסה = אפיסה
- חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
- [math]\displaystyle{ \infty+\infty=\infty }[/math]
- [math]\displaystyle{ \infty\cdot\infty=\infty }[/math]
- [math]\displaystyle{ \infty^\infty=\infty }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}\{0}\neq\infty }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}\{0^+}=\infty }[/math]
- [math]\displaystyle{ 0^\infty = 0 }[/math]
- אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
- אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
- יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
- אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
- [math]\displaystyle{ \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty }[/math]
מבחן המנה (ללא הוכחה).
הגבול של השורש הn של n.

סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.
המספר e.
הכלל המקוצר לחישוב גבולות עם e.
- אם [math]\displaystyle{ a_n\to 1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3 }[/math]

@@ שורה 37: / שורה 37: @@
 *אינדוקציה.
 *ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.
-*אריתמטיקה מורחבת.
+*אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
+**חסומה כפול אפיסה = אפיסה
+**חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
+**<math>\infty+\infty=\infty</math>
+**<math>\infty\cdot\infty=\infty</math>
+**<math>\infty^\infty=\infty</math>
+**<math>\frac{1}\{0}\neq\infty</math>
+**<math>\frac{1}\{0^+}=\infty</math>
+**<math>0^\infty = 0</math>
+**אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
+**אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
+**יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
+**אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
+*המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
+**<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math>
 *מבחן המנה (ללא הוכחה).
 *הגבול של השורש הn של n.