אנליזה מתקדמת למורים תרגול 3

חזרה ל מערכי תרגול.

הגדרות

הגדרה של סדרה אינסופית - נסתפק בתרגול בהבנה אינטואיטיבית, פשוטו כמשמעו....

גבול של סדרה: נאמר שסדרה [math]\displaystyle{ \{z_n\} }[/math] מתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ z }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ z_n\to z }[/math] אם מתקיים [math]\displaystyle{ |z_n-z|\to 0 }[/math], כאשר הדבר האחרון מוגדר כבר באינפי 1 כי זו סדרה של ממשיים.

דוגמאות

1. [math]\displaystyle{ z_n=1+(1+\frac{1}{n})^ni\to 1+ei }[/math]. הוכחה: [math]\displaystyle{ |z_n-z|=|1+(1+\frac{1}{n})^ni-(1+ei)|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)i|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)|\cdot |i|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)|\to 0 }[/math], כאשר השאיפה בסוף נובעת מהידוע לנו מאינפי 1.

2. [math]\displaystyle{ z_n=\frac{n^2+1}{2n^2+3n-2}-2i\to 0.5-2i }[/math] בדומה...

טענות

בדומה לסדרות של ממשיים, מתקיים:

1. [math]\displaystyle{ z_n\to z\Rightarrow \forall c\in \mathbb{C} c\cdot z_n\to c\cdot z }[/math]

2. [math]\displaystyle{ z_n\to z,w_m\to w\Rightarrow z_n+w_n\to z+w }[/math]

3. [math]\displaystyle{ z_n\to z,w_m\to w\Rightarrow z_n\cdot w_n\to z\cdot w }[/math]

הוכחה:

1. [math]\displaystyle{ |cz_n-cz|=|c(z_n-z)|=|c|\cdot |z_n-z|\to 0 }[/math]

2. [math]\displaystyle{ |(z_n+w_n)-(z+w)|=|(z_n-z)+(w_n-w)|\leq |z_n-z|+|w_n-w|\to 0 }[/math]

3. [math]\displaystyle{ |z_n\cdot w_n-zw|=|z_n w_n-z_nw+z_nw-zw|=|z_n(w_n-w)+w(z_n-z)|\leq |z_n(w_n-w)|+|w(z_n-z)|=|Z_n|\cdot |w_n-w_+|w|\cdot |z_n-z| }[/math]

כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס.