אנליזה מתקדמת למורים תרגול 3

חזרה ל מערכי תרגול.

הגדרה של סדרה אינסופית - נסתפק בתרגול בהבנה אינטואיטיבית, פשוטו כמשמעו....

גבול של סדרה: נאמר שסדרה [math]\displaystyle{ \{z_n\} }[/math] מתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ z }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ z_n\to z }[/math] אם מתקיים [math]\displaystyle{ |z_n-z|\to 0 }[/math], כאשר הדבר האחרון מוגדר כבר באינפי 1 כי זו סדרה של ממשיים.

דוגמאות

1. [math]\displaystyle{ z_n=1+(1+\frac{1}{n})^ni\to 1+ei }[/math]. הוכחה: [math]\displaystyle{ |z_n-z|=|1+(1+\frac{1}{n})^ni-(1+ei)|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)i|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)|\cdot |i|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)|\to 0 }[/math], כאשר השאיפה בסוף נובעת מהידוע לנו מאינפי 1.

2. [math]\displaystyle{ z_n=\frac{n^2+1}{2n^2+3n-2}-2i\to 0.5-2i }[/math] בדומה...

טענות

בדומה לסדרות של ממשיים, מתקיים:

1. [math]\displaystyle{ z_n\to z\Rightarrow \forall c\in \mathbb{C} c\cdot z_n\to c\cdot z }[/math]

2. [math]\displaystyle{ z_n\to z,w_m\to w\Rightarrow z_n+w_n\to z+w }[/math]

3. [math]\displaystyle{ z_n\to z,w_m\to w\Rightarrow z_n\cdot w_n\to z\cdot w }[/math]

הוכחה:

1. [math]\displaystyle{ |cz_n-cz|=|c(z_n-z)|=|c|\cdot |z_n-z|\to 0 }[/math]

2. [math]\displaystyle{ |(z_n+w_n)-(z+w)|=|(z_n-z)+(w_n-w)|\leq |z_n-z|+|w_n-w|\to 0 }[/math]

3. [math]\displaystyle{ |z_n\cdot w_n-zw|=|z_n w_n-z_nw+z_nw-zw|=|z_n(w_n-w)+w(z_n-z)|\leq |z_n(w_n-w)|+|w(z_n-z)|=|Z_n|\cdot |w_n-w_+|w|\cdot |z_n-z| }[/math]

כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס.

תרגילים

תרגיל

ראיתם את המשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות. מה קורה בכיוון ההפוך? נניח שסדרת הנורמות מתכנסת, האם גם הסדרה המקורית?

פתרון

כמומבן שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים. קחו את הסדרה המתחלפת [math]\displaystyle{ זz_n=(-1)^n }[/math].

הערה

במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: [math]\displaystyle{ z_n=\text{cis}n }[/math], כאשר מסתכליםפ על הזוית ברדיאנים. כל המספרים שונים כי [math]\displaystyle{ n_-n_2\neq 2\pi k }[/math] כיון שההפרש שלם.

תרגיל

הוכיחו שאם [math]\displaystyle{ z=r\text{cis}\theta,r\lt 1 }[/math] אז הסדרה [math]\displaystyle{ z_n=z^n\to 0 }[/math].

פתרון

נבדוק לפי הגדרה: [math]\displaystyle{ |z_n-0|=|z^n|=|z|^n=r^n\to 0 }[/math], כאשר המעבר האחרון מאינפי 1.