אנליזת פורייה - ארז שיינר

תקציר ההרצאות

הקדמה

גלים

• מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
• לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
  • תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
  • אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
  • פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
• אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.

• מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
• למדנו במד"ר על המשוואה [math]\displaystyle{ y''=-k^2y }[/math] המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
• זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
• הפתרון הכללי למד"ר הוא [math]\displaystyle{ y=a\sin(kt)+b\cos(kt) }[/math].
• הקבוע [math]\displaystyle{ k }[/math] קובע את התדר של כל גל.
• הקבועים [math]\displaystyle{ a,b }[/math] קובעים את האמפליטודה של כל גל.
• מה לגבי הפאזה?
  • בפונקציה [math]\displaystyle{ a\sin(kt+t_0) }[/math], הקבוע [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] קובע את הפאזה.
  • ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
    • [math]\displaystyle{ a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt) }[/math]

• האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי [math]\displaystyle{ a\sin(kt)+b\cos(kt) }[/math] ניתן להציג כגל יחיד?
• תשובה: כן.
• הוכחה:
  • נסמן [math]\displaystyle{ z=a+bi=rcis(\theta) }[/math]
  • כלומר [math]\displaystyle{ a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta) }[/math]
• שימו לב:
  • סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
  • הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
  • לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
  • האפליטודה של הגל החדש היא [math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2} }[/math].

• האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
• בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
• האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
• למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
• במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.

טורי פורייה

• טור פורייה הוא טור מהצורה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right] }[/math]

• אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math]?

חישובים להקדמה

• ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
  • [math]\displaystyle{ \sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right] }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right] }[/math]
• כעת, לכל [math]\displaystyle{ 0\neq n\in\mathbb{N} }[/math] נקבל:
  • [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx = \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1 }[/math]
• עבור [math]\displaystyle{ n\neq k \in \mathbb{N} }[/math] נקבל:
  • [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n-k)x)-\cos((n+k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}-\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0 }[/math]
  • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש[math]\displaystyle{ n-k,n+k\neq 0 }[/math].
• באופן דומה, לכל [math]\displaystyle{ 0\neq n\in\mathbb{N} }[/math] נקבל:
  • [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1 }[/math]
• עבור [math]\displaystyle{ n\neq k \in \mathbb{N} }[/math] נקבל:
  • [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0 }[/math]
  • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש[math]\displaystyle{ n-k,n+k\neq 0 }[/math].
• עבור [math]\displaystyle{ n,k\in \mathbb{N} }[/math] נקבל:
  • [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(kx)dx=0 }[/math] כיוון שמדובר באינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית.
• ולבסוף, עבור [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] נקבל
  • [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2 }[/math]
• שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.

• הערה חשובה:
  • למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה [math]\displaystyle{ \{\frac{1}{2},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\} }[/math] מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית [math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx }[/math]

מקדמי הטור

• כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
• [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\right)\cos(kx)dx= }[/math]
• [math]\displaystyle{ =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}\cos(kx)+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right]\right)dx= }[/math]
• כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
• [math]\displaystyle{ =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right] }[/math]
• לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
• [math]\displaystyle{ a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx }[/math]
• שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור [math]\displaystyle{ k=0 }[/math].
• באופן דומה נקבל כי [math]\displaystyle{ b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx }[/math]

• הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
• השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
• באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math].
• לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
  • תהי פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math], נגדיר את ההמשך המחזורי שלה [math]\displaystyle{ g }[/math] על ידי:
  • לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb{Z} }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ x\in [-\pi+2\pi k,\pi+2\pi k) }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ g(x)=f(x-2\pi k) }[/math].
  • ברור ש [math]\displaystyle{ g(x+2\pi) = g(x) }[/math], כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
  • ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת [math]\displaystyle{ g(x)=f(x-2\pi\lfloor\frac{x+\pi}{2\pi}\rfloor) }[/math]

• לדוגמא, ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]:

דוגמא

• נחשב את מקדמי הפורייה של ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]
• שימו לב, מקדמי הפורייה של פונקציה וההמשך המחזורי שלה זהים, כיוון שערך הפונקציה בנקודה אחת לא משפיע על האינטגרל.

[math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0 }[/math].

• שימו לב: מקדמי הפורייה של הסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה זוגית, ומקדמי הפורייה של הקוסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה אי זוגית.

[math]\displaystyle{ a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx= \frac{2}{\pi}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3} }[/math]

[math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx =\left\{\begin{array}{lr}f'=\cos(nx) & g=x^2\\ f= \frac{\sin(nx)}{n} & g'=2x\end{array}\right\}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{2}{\pi}\left[\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx = - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx= \left\{\begin{array}{lr}f'=\sin(nx) & g=x\\ f= -\frac{\cos(nx)}{n} & g'=1\end{array}\right\}= }[/math]

[math]\displaystyle{ - \frac{4}{n\pi}\left[\frac{-x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi + \frac{4}{n^2\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx=\frac{4\pi\cos(\pi n)}{n^2\pi}+\frac{4}{n^3\pi}\left[sin(nx)\right]_0^\pi = \frac{4(-1)^n}{n^2} }[/math]

• שימו לב כי לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ cos(n\pi)=(-1)^n }[/math]

• סה"כ אם ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] שווה לטור פורייה שמתכנס במ"ש, אזי טור זה הוא:

[math]\displaystyle{ \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx) }[/math]

• נניח (ונוכיח בהמשך) שטור זה אכן שווה לפונקציה ונציב [math]\displaystyle{ \pi }[/math].
• [math]\displaystyle{ \pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2} }[/math]
• ונקבל את הסכום המפורסם

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} }[/math]

תזכורת לגבי מרחבי מכפלה פנימית והיטלים

• E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין [math]\displaystyle{ f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C} }[/math] מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math].
  • פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה פרט למספר סופי של נקודות אי רציפות סליקות או קפיצתיות (מין ראשון).
• [math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx }[/math] היא מכפלה פנימית מעל E.
• נביט בנורמה המושרית [math]\displaystyle{ ||f||^2=\langle f,f\rangle }[/math]

• תהי קבוצה אורתונורמלית סופית [math]\displaystyle{ \{e_1,...,e_n\} }[/math] הפורשת את המרחב W.
• לכל וקטור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] נגדיר את ההיטל של [math]\displaystyle{ v }[/math] על W על ידי [math]\displaystyle{ \widetilde{v}=\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i }[/math]
• מתקיים כי [math]\displaystyle{ \langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle }[/math]
  • הוכחה
• מתקיים כי [math]\displaystyle{ (v-\widetilde{v})\perp \widetilde{v} }[/math]
  • הוכחה
• מתקיים כי [math]\displaystyle{ ||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2 }[/math]
  • הוכחה
• מסקנה חשובה: [math]\displaystyle{ ||\widetilde{v}||\leq ||v|| }[/math]