חתכי דדקינד: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה מ־17:27, 4 בספטמבר 2020

הקדמה

אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה $x^{2} = 2$ (שורש שתיים).

הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה $(1, 1)$ לראשית הצירים $(0, 0)$ ?

האם ייתכן שהפרבולה $y = x^{2} - 2$ עולה מהנקודה $(0, - 2)$ אל הנקודה $(2, 2)$ בלי לחתוך את ציר האיקס?

כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.

כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה $y = x^{2} - 2$ עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?

(נבנה באמצעות גאוגברה.)

ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.

כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה ${x \in Q | x < 0 \lor x^{2} < 2}$ , זו הקרן באיור.

הרעיון הזה של חיתוך ציר הריציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.

חתכי דדקינד

הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה $A \subseteq Q$ המקיימת:
- $A \neq \emptyset$
- $A$ חסומה מלעיל.
- לכל $m \in Q$ מתקיים כי $m \notin A$ אם ורק אם $m$ חסם מלעיל של $A$

הערות ותזכורות:
- חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
- בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
- אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.

הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 ==הקדמה==
-*אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה <math>x^2=2</math>.
+*אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה <math>x^2=2</math> (שורש שתיים).
 *הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה <math>(1,1)</math> לראשית הצירים <math>(0,0)</math>?
@@ שורה 18: / שורה 18: @@
 (נבנה באמצעות [https://www.geogebra.org/graphing גאוגברה].)
+*ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
+*כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה <math>\left\{x\in\mathbb{Q}| x<0 \vee x^2 <2\right\}</math>, זו הקרן באיור.
+*הרעיון הזה של חיתוך ציר הריציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את '''חתכי דדקינד'''.
+==חתכי דדקינד==
+*'''הגדרה''': חתך דדקינד הוא קבוצה <math>A\subseteq\mathbb{Q}</math> המקיימת:
+**<math>A\neq\emptyset</math>
+**<math>A</math> חסומה מלעיל.
+**לכל <math>m\in\mathbb{Q}</math> מתקיים כי <math>m\notin A</math> אם ורק אם <math>m</math> חסם מלעיל של <math>A</math>
+*הערות ותזכורות:
+**חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
+**בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
+**אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.
+*הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
+*כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
+*עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר ב[[שדה]].
+*כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.