חתכי דדקינד

הקדמה

• אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה $x^2=2$ (שורש שתיים).

• הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה $(1,1)$ לראשית הצירים $(0,0)$?

• האם ייתכן שהפרבולה $y=x^2-2$ עולה מהנקודה $(0,-2)$ אל הנקודה $(2,2)$ בלי לחתוך את ציר האיקס?

• כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.

• כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה $y=x^2-2$ עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?

(נבנה באמצעות גאוגברה.)

• ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.

• כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה $\{x\in \mathbb{Q}|x<0\vee x^2<2\}$, זו הקרן באיור.

• הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.

חתכי דדקינד

• הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה $A\subseteq \mathbb{Q}$ המקיימת:
  • $A\ne \mathrm{\varnothing }$
  • $A$ חסומה מלעיל.
  • לכל $m\in \mathbb{Q}$ מתקיים כי $m\notin A$ אם ורק אם $m$ חסם מלעיל של $A$

• הערות ותזכורות:
  • חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
  • בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
  • אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.

• הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
• כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
• עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
• כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.