הבדלים בין גרסאות בדף "חדוא 1 - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←גבול עליון וגבול תחתון) |
(←גבול עליון וגבול תחתון) |
||
שורה 348: | שורה 348: | ||
*לכל <math>-\infty\leq L\leq \infty</math> מתקיים כי <math>a_n \to L</math> אם ורק אם <math>\underline{\lim}a_n=\overline{\lim}a_n=L</math> | *לכל <math>-\infty\leq L\leq \infty</math> מתקיים כי <math>a_n \to L</math> אם ורק אם <math>\underline{\lim}a_n=\overline{\lim}a_n=L</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>j4C_2yvKpN0</videoflash> | ||
===כלל הe=== | ===כלל הe=== |
גרסה מ־18:37, 13 בנובמבר 2020
תוכן עניינים
- 1 מבחנים ופתרונות
- 2 סרטוני ותקציר ההרצאות
- 2.1 פרק 1 - מספרים וחסמים
- 2.2 פרק 2 - סדרות
- 2.3 פרק 3 - טורים
- 2.4 פרק 4 - פונקציות ורציפות
- 2.5 פרק 5 - גזירות
- 2.6 פרק 6 - חקירה
מבחנים ופתרונות
סרטוני ותקציר ההרצאות
פלייליסט ההרצאות של אינפי 1 למדמח תשפ"א
פרק 1 - מספרים וחסמים
קבוצות מספרים
- הטבעיים
- השלמים
- הרציונאליים
- הממשיים , כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים
- העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות חתכי דדקינד
- לא קיים כך ש .
- במילים פשוטות, אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).
חזקות ולוגריתמים
- לכל מספר ממשי ולכל מספר טבעי נגדיר כפל n פעמים
- לכל מספר ממשי אי שלילי ולכל מספר טבעי נגדיר כלומר המספר האי שלילי שבחזקת n שווה לx.
- לכל מספר ממשי אי שלילי ולכל זוג מספרים טבעיים נגדיר
- לכל מספר ממשי נגדיר
- מה לגבי חזקות ממשיות אי רציונליות?
- נגדיר אותן באמצעות גבול של חזקות רציונאליות
- לכל מספר ממשי ולכל חזקה ממשית שלילית נגדיר
- לכל נגדיר את להיות המספר שa בחזקתו שווה לx.
- חוקי לוגים:
חסמים
- תהי אזי:
- נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא חסם מלעיל של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא חסם מלרע של A אם לכל מתקיים כי
- כמו כן:
- אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן
- אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן
- בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
- בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.
- תהי ויהי אזי:
- M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר קיים מספר כך ש
- m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר קיים מספר כך ש
- דוגמא: תהיינה חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי
שיטות הוכחה בסיסיות
- הוכחת טענות מכומתות - טענות 'לכל' וטענות 'קיים'
פרק 2 - סדרות
הגדרת הגבול
- הגדרת הגבול של סדרה:
- תהי סדרה ממשית ויהי מספר ממשי .
- הינו גבול הסדרה (מסומן או ) אם:
- לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
- לכל מרחק קיים מקום כך שאחריו לכל מתקיים כי
- נגדיר ש אם לכל קיים כך שלכל מתקיים כי
- נגדיר ש אם
- טענה: תהי אזי
- טענה: תהי אזי
- אם וכן אזי
- סדרה המתכנסת לגבול סופי חסומה.
- בפרט, כל שינוי, תוספת או החסרה של מספר סופי של איברים לא משפיע על גבול הסדרה.
- תהי סדרה המתכנסת לגבול סופי והמקיימת לכל כי אזי
שאיפה לאפס
- תהי סדרה ויהי אזי אם ורק אם
- בפרט אם ורק אם
- תהי ותהי חסומה, אזי
- תהיינה אזי גם
משפטי סנדביץ'
- משפט הסנדביץ' -
- תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי
- כמו כן, יהי כך ש
- אזי
- חצי סנדביץ'-
- תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי
- כמו כן נתון כי
- אזי
- חצי סנדביץ' על הרצפה -
- תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי
- כמו כן נתון כי
- אזי
מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)
- תהיינה , אזי
- אם אזי
אינדוקציה
- משפט האינדוקציה המתמטית
- תהי סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאים:
- הטענה הראשונה נכונה.
- לכל אם הטענה הn מתקיימת אז גם הטענה הn+1 מתקיימת.
- אזי כל הטענות בסדרה נכונות
- אי שיוויון ברנולי: יהי אזי לכל מתקיים כי
חזקת אינסוף
- תהי אזי:
- אם מתקיים כי
- אם מתקיים כי
- שימו לב כי ייתכן ו, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף.
כלל המנה
- כלל המנה (הוכחה בסיכום הבא על אי-שוויון הממוצעים).
- תהי סדרה המקיימת כי גבול המנה הוא אזי:
- אם מתקיים כי
- אם מתקיים כי
- מתקיים כי
- תהי סדרה המקיימת כי גבול המנה הוא אזי:
- דוגמאות:
- עבור מתקיים
חזקות של גבולות
- יהי ותהי אזי
- רעיון הוכחה: אם אזי והרי לפי כלל המנה
- יהי ותהי אזי
- רעיון הוכחה:
- תהי ותהי אזי
- רעיון הוכחה: לפי חשבון גבולות (כפל) שני הצדדים שואפים ל1. (אם אי השיוויון הפוך).
- תהי ותהי אזי
- רעיון הוכחה:
- תהי ותהי אזי
- רעיון הוכחה: החל משלב מסויים
סדרות מונוטוניות והמספר e
- כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי.
- דוגמא: נביט בסדרה
- כיוון ש מדובר בסדרה מונוטונית עולה.
- אם הסדרה חסומה:
- קיים לה גבול סופי
- נחשב את גבול שני צידי המשוואה
- לכן ולכן
- אבל הסדרה עולה וחסומה מלמטה ע"י האיבר הראשון ולכן
- כלומר בסתירה.
- מכאן הסדרה אינה חסומה, וכיוון שהיא עולה
- המספר e (הוכחות בעזרת אי-שוויון הממוצעים).
- .
תתי סדרות וגבולות חלקיים
הגדרת גבול חלקי
- לכל סדרת מקומות המקיימת לכל כי נגדיר כי הינה תת סדרה של הסדרה
- שימו לב כי מקומות תת הסדרה הם באותו הסדר כמו בסדרה המקורית, ואסור לחזור על איבר פעמיים.
- לדוגמא:
- נביט בסדרה
- אזי היא תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים
- נגדיר ש הוא גבול חלקי של הסדרה אם קיימת תת סדרה כך ש
- טענה - יהי סופי או אינסופי, אזי:
- אם ורק אם לכל תת סדרה מתקיים כי
משפט בולצאנו-ויירשטראס
- לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.
- משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.
גבול עליון וגבול תחתון
- תהי סדרה
- נגדיר את הגבול העליון שלה (limsup):
- אם אינה חסומה מלעיל אזי
- אם חסומה מלעיל ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את להיות החסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
- אחרת, נגדיר
- נגדיר את הגבול התחתון שלה (liminf):
- אם אינה חסומה מלרע אזי
- אם חסומה מלרע ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את להיות החסם התחתון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
- אחרת, נגדיר
- לכל גבול חלקי L של הסדרה מתקיים כי:
- הגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים (כלומר יש תת סדרה ששואפת לגבול העליון, ויש תת סדרה ששואפת לגבול התחתון).
- לכל מתקיים כי אם ורק אם
כלל הe
- אם אזי
- , כאשר הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל.
- שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
- אם אזי
- ראשית (הוכחה בקישור לערך על המספר e).
- כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.
- אם אזי
- .
- בין אם שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
- שימו לב שאם , אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב ששווה אפס.
- דוגמא:
חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)
- אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
- חסומה כפול אפיסה = אפיסה
- חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
- אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
- אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
- יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
- אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
- אם אזי
- חזקת סדרות שואפת לחזקת הגבולות.
- אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף
המקרים הבעייתיים
- המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
פרק 3 - טורים
פרק 4 - פונקציות ורציפות
מבוא לגבולות
- מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
הגדרת הגבול לפי קושי
הגדרת הגבול לפי היינה
- מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות
- אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרה.
- מסקנה: גבול של פונקציה קיים בנקודה אם"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.
הפונקציות הטריגונומטריות
- הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
-
- עבור זוית שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
-
- כיוון ש בתחום , נובע לפי סנדוויץ' ש.
- כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
- כעת בתחום הקוסינוס חיובית ולכן ונובע כי .
- נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
- לפי כלל הסנדביץ
- כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.
- ראינו ש.
- שימו לב ש, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.
רציפות
- גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
- מתקיים כי אבל .
- רציפות.
- הגדרה:
- פונקציה f נקראית רציפה בקטע אם f רציפה בכל נקודה בקטע ובנוסף וגם
- טענה: אם f רציפה ב אזי לכל סדרה (גם אם אינה שונה מ) מתקיים כי .
- הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב ותהי g רציפה ב. אזי רציפה ב.
- הוכחה:
- תהי סדרה אזי
- לפי הטענה הקודמת, .
- מיון אי רציפות.
- רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
- סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
- קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
- עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.
פרק 5 - גזירות
הגדרת הנגזרת
-
- הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
- נניח כי ונוכיח כי , והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
- תהי נגדיר את הסדרה .
- כיוון ש נובע כי .
- אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
- צ"ל
- לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל
- לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי
- פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
- וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
- ניתן לשים לב גם ש, וכמו כן נראה בהמשך כי אינה גזירה באפס.
הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות
- טריגו:
- באופן דומה
- לוג:
-
- המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
- (בפרט נובע כי .)
-
- בפרט נובע כי
-
- אקספוננט:
-
- בפרט נובע כי .
-
- חזקה:
- לכל , הוכחה בהמשך.
- בפרט:
- לכל , הוכחה בהמשך.
תהי f גזירה ב ותהי g הגזירה ב:
- תהי סדרה .
- רוצים לומר ש.
- אמנם בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
- אם יש תת סדרה של עבורה אזי ולכן .
- לכן .
- כמו כן, .
- לכן בכל מקרה קיבלנו כי
- סה"כ .
נגזרת של חזקה
- עבור מתקיים
- דוגמא: חישוב הנגזרת של
נגזרת מנה
תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש :
- נזכור כי
- אזי בנקודה x מתקיים:
פונקציות הופכיות ונגזרתן
- פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).
- פונקציה הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל
- הפונקציה ההופכית היא ומתקיים כי אם"ם
- טענה: אם רציפה בקטע , אזי רציפה בקטע .
- הוכחה:
- תהי , צ"ל ש
- יהי גבול חלקי .
- אזי .
- מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים .
- לכן ולכן .
- טענה: תהי הפיכה ורציפה. ונניח כי היא גזירה בנק' כך ש .
- אזי גזירה בנק' ומתקיים כי
- או בנוסח אחר-
- הוכחה:
- תהי ונסמן .
- אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי
- דוגמא חשובה:
- הפיכה וההופכית שלה נקראית .
פרק 6 - חקירה
משפטי חקירת פונקציות
- משפט ערך הביניים.
- תהי f רציפה ב כך ש, הוכיחו שקיימת נק' עבורה
- נעביר אגף ונביט בפונקציה שצריך למצוא שורש שלה.
- .
- ולכן קיימת נקודה עבורה .
- לפי משפט ערך הביניים בקטע קיימת נק' המאפסת את הפונקציה h.
- משפטי ויירשטראס.
- פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.
- פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.
- משפט פרמה.
- אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.
- ההפך אינו נכון.
- משפט רול.
- פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בקטע הפתוח.
- לפולינום יש לכל היותר n שורשים שונים.
- משפט לגראנז'.
- פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח מקבלת את השיפוע בין שתי נקודות הקצה בנגזרת בנק' כלשהי.
- משפט לגראנז' המוכלל.
- שתי פונקציות רציפות בקטע סגור, גזירות בקטע הפתוח, והנגזרת של האחת אינה מתאפסת. אזי מנת הנגזרות שווה למנת השיפועים בנק' מסויימת.
- הוכחת משפט לגראנז' המוכלל, שמוכיח גם את משפט לגראנז' עצמו כמקרה פרטי.
- ראשית, כיוון ש בקטע נובע לפי רול כי ולכן מותר לחלק בהפרש ביניהם.
- ולכן לפי רול קיימת נק' עבורה וזה מה שרצינו להוכיח.
- (שימו לב שמותר לחלק ב.)
- עבור נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל.
קשר בין הנגזרת לפונקציה
- פונקציה גזירה עולה אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפס.
- פונקציה עולה ממש אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפס, ולא מתאפסת על קטע.
כלל לופיטל
- כלל לופיטל (הוכחה לאפס חלקי אפס בנקודה סופית).
- כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.