חתכי דדקינד: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
שורה 137: שורה 137:
*לכן <math>t=xy\in AB</math>.
*לכן <math>t=xy\in AB</math>.
*כיוון ש<math>x</math> אינו חסם מלעיל של <math>A</math> קיים <math>x<z\in A</math> ולכן <math>xy<zy\in A</math>  בסתירה.
*כיוון ש<math>x</math> אינו חסם מלעיל של <math>A</math> קיים <math>x<z\in A</math> ולכן <math>xy<zy\in A</math>  בסתירה.


*אם <math>t\not\in AB</math> צ"ל כי <math>t</math> חסם מלעיל.
*אם <math>t\not\in AB</math> צ"ל כי <math>t</math> חסם מלעיל.
*נב"ש כי <math>t</math> אינו חסם מלעיל, לכן יש בקבוצה איבר גדול ממנו.
*כיוון ש <math>t\not\in AB</math> נובע כי <math>t>0</math>, ולכן האיבר שגדול ממנו הוא מהצורה <math>t<xy</math>.
*לכן <math>\frac{t}{y}<x</math>, נבחר <math>x_1 =\frac{t}{y}<x</math>.
*כיוון ש<math>x_1 <x</math> נובע כי <math>x_1 \in A</math>.
*לכן <math>t=x_1 y\in A\cdot B</math> בסתירה.


===חתך היחידה===
===חתך היחידה===

גרסה מ־15:50, 26 במרץ 2022

הקדמה

  • אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה x2=2 (שורש שתיים).
  • הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה (1,1) לראשית הצירים (0,0)?
  • האם ייתכן שהפרבולה y=x22 עולה מהנקודה (0,2) אל הנקודה (2,2) בלי לחתוך את ציר האיקס?
  • כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.



  • כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה y=x22 עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?

X^2-2.png

(נבנה באמצעות גאוגברה.)

  • ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
  • כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה {xQ|x<0x2<2}, זו הקרן באיור.
  • הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.

חתכי דדקינד

  • הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה AQ המקיימת:
    • A
    • A חסומה מלעיל.
    • לכל mQ מתקיים כי mA אם ורק אם m חסם מלעיל של A


  • הערות ותזכורות:
    • חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
    • בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה. זה משול לחצי האבוקדו ללא הגרעין.
    • בחתך המייצג מספר שאינו רציונאלי, כמו שורש שתיים, גם במשלים של החתך אין מספר קטן ביותר, זה משול לשני חצאי אבוקדו ללא גרעין כלל.
    • אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.


  • הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
  • כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
  • עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
  • כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.

חיבור חתכי דדקינד

  • יהיו שתי חתכים A,B, נגדיר את החיבור:
    • A+B={a+b|aA,bB}


  • החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
    • כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
    • סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
    • יהי a+bA+B, כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים a<cA וכן b<dB ולכן a+b<c+dA+B וa+b אינו חסם מלעיל של A+B
    • יהי mQ שאינו חסם מלעיל של A+B, לכן קיימים m<a+bA+B. כעת ma<b כלומר ma אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ m=a+(ma)A+B.


חתך האפס

  • נגדיר את חתך האפס, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לחיבור.
  • 0D={xQ|x<0}


נגדי

  • יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
    • A={xQ|mA:x<m}


  • לדוגמא {xQ|x<2}={xQ|x<2}


NegDedekind2.png


  • הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
    • הנגדי לא ריק:
      • כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן A
    • הנגדי חסום מלעיל:
      • יהי aA לכן לכל mA מתקיים כי a<m ולכן m<a
      • לכל xA קיים mA כך ש x<m ולכן x<a
      • בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של A.
    • כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל:
      • לכל איבר בנגדי x<m לכן אמצע הקטע בין x,m גדול מx וקטן מm ולכן שייך לנגדי A ולכן x אינו חסם מלעיל.
    • אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי:
      • נניח y אינו חסם מלעיל של A לכן קיים y<xA ולכן קיים mA כך ש y<x<m ולכן yA


יחס סדר

  • יחס ההכלה הוא יחס סדר לינארי (מלא) על קבוצת חתכי דדקינד
  • הוכחה:
    • יהיו שני חתכים A,B.
    • אם קיים mA חסם מלעיל של A כך שmB אזי כל איבר של A אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לB, כלומר AB
    • אחרת, לכל mA מתקיים כי mB. כלומר AB ולכן BA


  • נגדיר את החתכים החיוביים להיות כל החתכים A כך ש0D<A ונגדיר את החתכים השליליים על ידי 0D>A


  • טענה: A0D אם ורק אם A0D
  • הוכחה:
    • ראשית נניח כי A0D
      • כלומר בעצם 0DA ולכן לכל חסם מלעיל mA מתקיים כי 0m.
      • לכן לכל xA מתקיים כי x<m<0
      • כלומר כל האיברים בA שליליים, ולכן A0D כלומר A0D
    • בכיוון ההפוך, נניח כי A0D
      • לכן כל האיברים בA שליליים.
      • אם קיים 0>mA אזי 0<m2A בסתירה.
    • לכן כל המספרים השליליים שייכים לA, כלומר 0DA ולכן A0D

כפל חתכי דדקינד

  • יהיו שני חתכי דדקינד אי שליליים 0DA,B, נגדיר את הכפל:
    • AB={xy|xA0DyB0D}0D
  • אם A שלילי, וB אי שלילי, נגדיר:
    • AB=((A)B)
  • אם A אי שלילי, וB שלילי, נגדיר:
    • AB=(A(B))
  • אם A,B שליליים נגדיר:
    • AB=(A)(B)

הוכחה שהמכפלה נותנת חתך דדקינד

  • יהיו שני חתכי דדקינד אי שליליים 0DA,B


  • ברור שהמכפלה לא ריקה כיוון ש 0DAB


  • כיוון שA,B חתכי דדקינד מדובר בקבוצות חסומות, אז קיימים חסמי מלעיל mA,mB בהתאמה.
  • לכל xyAB מתקיים כי x<mA,y<mB ולכן xy<mAmB. זה נכון כי החסמים חיוביים, כי מדובר בחתכים חיוביים.


  • אם tAB צ"ל כי t אינו חסם מלעיל של AB.
  • אם t0 ברור שאינו חסם מלעיל של AB כיוון שיש בקבוצה מספרים חיוביים.
  • לכן t=xyAB.
  • כיוון שx אינו חסם מלעיל של A קיים x<zA ולכן xy<zyA בסתירה.


  • אם tAB צ"ל כי t חסם מלעיל.
  • נב"ש כי t אינו חסם מלעיל, לכן יש בקבוצה איבר גדול ממנו.
  • כיוון ש tAB נובע כי t>0, ולכן האיבר שגדול ממנו הוא מהצורה t<xy.
  • לכן ty<x, נבחר x1=ty<x.
  • כיוון שx1<x נובע כי x1A.
  • לכן t=x1yAB בסתירה.

חתך היחידה

  • נגדיר את חתך היחידה, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לכפל.
  • 1D={xQ|x<1}

הופכי

  • אם A חיובי נגדיר את ההופכי שלו להיות
  • A1={xQ|mA:x<1m}
  • אם A שלילי נגדיר את ההופכי שלו להיות
  • A1=(A)1

שדה הממשיים

הגדרת המספרים הממשיים

  • הגדרה:
    • R הוא קבוצת כל חתכי דדקינד.


  • נוכיח שמדובר בשדה סדור ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל, ולאחר מכן נתאר את הייצוג העשרוני של המספרים הממשיים.


שלמות הממשיים

  • תהי AR קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים, וחסומה מלעיל (כלומר קיים MR כך שaA:aM. אזי קיים לA חסם עליון ממשי.

הוכחה

  • נסמן בS את האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד ששייכים לA, כלומר S=xAx


  • נוכיח כי האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד הוא גם חתך דדקינד.
    • S אינה ריקה
      • A אינה ריקה, ולכן קיים xA.
      • כיוון שx חתך דדקינד הוא אינו ריק.
      • xS ולכן S אינה ריקה
    • S חסומה:
      • כיוון שM חסם מלעיל של A לכל xA מתקיים כי xM
      • לפי יחס הסדר מתקיים כי xM.
      • כיוון שלכל xA מתקיים כי xM נובע כי גם SM.
      • לכן S חסומה מלעיל.
    • נוכיח כי xS אם ורק אם x אינו חסם מלעיל של S
      • אם xS אזי xDA
      • אם x חסם מלעיל של S אזי הוא בפרט חסם מלעיל של D בסתירה.
      • מצד שני, אם m חסם מלעיל של S הוא בפרט חסם מלעיל של כל איברי A ולכן אינו שייך לאף אחד מאיברי A ולכן אינו שייך לS


  • ברור כי לכל xA מתקיים כי xS כיוון שxS (כל קבוצה מוכלת באיחוד).


  • נוכיח כי S הוא החסם העליון של A.
  • נב"ש כי קיים T חסם מלעיל של A כך ש T<S.
  • לכן קיים xST.
  • לכן קיים DA כך ש xD.
  • לכן DT בסתירה לכך שT חסם מלעיל של A