חתכי דדקינד: הבדלים בין גרסאות בדף
שורה 137: | שורה 137: | ||
*לכן <math>t=xy\in AB</math>. | *לכן <math>t=xy\in AB</math>. | ||
*כיוון ש<math>x</math> אינו חסם מלעיל של <math>A</math> קיים <math>x<z\in A</math> ולכן <math>xy<zy\in A</math> בסתירה. | *כיוון ש<math>x</math> אינו חסם מלעיל של <math>A</math> קיים <math>x<z\in A</math> ולכן <math>xy<zy\in A</math> בסתירה. | ||
*אם <math>t\not\in AB</math> צ"ל כי <math>t</math> חסם מלעיל. | *אם <math>t\not\in AB</math> צ"ל כי <math>t</math> חסם מלעיל. | ||
*נב"ש כי <math>t</math> אינו חסם מלעיל, לכן יש בקבוצה איבר גדול ממנו. | |||
*כיוון ש <math>t\not\in AB</math> נובע כי <math>t>0</math>, ולכן האיבר שגדול ממנו הוא מהצורה <math>t<xy</math>. | |||
*לכן <math>\frac{t}{y}<x</math>, נבחר <math>x_1 =\frac{t}{y}<x</math>. | |||
*כיוון ש<math>x_1 <x</math> נובע כי <math>x_1 \in A</math>. | |||
*לכן <math>t=x_1 y\in A\cdot B</math> בסתירה. | |||
===חתך היחידה=== | ===חתך היחידה=== |
גרסה מ־15:50, 26 במרץ 2022
הקדמה
- אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה
(שורש שתיים).
- הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה
לראשית הצירים ?
- האם ייתכן שהפרבולה
עולה מהנקודה אל הנקודה בלי לחתוך את ציר האיקס?
- כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.
- כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה
עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?
(נבנה באמצעות גאוגברה.)
- ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
- כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה
, זו הקרן באיור.
- הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.
חתכי דדקינד
- הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה
המקיימת: חסומה מלעיל.- לכל
מתקיים כי אם ורק אם חסם מלעיל של
- הערות ותזכורות:
- חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
- בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה. זה משול לחצי האבוקדו ללא הגרעין.
- בחתך המייצג מספר שאינו רציונאלי, כמו שורש שתיים, גם במשלים של החתך אין מספר קטן ביותר, זה משול לשני חצאי אבוקדו ללא גרעין כלל.
- אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.
- הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
- כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
- עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
- כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.
חיבור חתכי דדקינד
- יהיו שתי חתכים
, נגדיר את החיבור:
- החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
- כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
- סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
- יהי
, כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים וכן ולכן ו אינו חסם מלעיל של - יהי
שאינו חסם מלעיל של , לכן קיימים . כעת כלומר אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ .
חתך האפס
- נגדיר את חתך האפס, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לחיבור.
נגדי
- יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
- לדוגמא
- הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
- הנגדי לא ריק:
- כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן
- כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן
- הנגדי חסום מלעיל:
- יהי
לכן לכל מתקיים כי ולכן - לכל
קיים כך ש ולכן - בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של
.
- יהי
- כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל:
- לכל איבר בנגדי
לכן אמצע הקטע בין גדול מ וקטן מ ולכן שייך לנגדי ולכן אינו חסם מלעיל.
- לכל איבר בנגדי
- אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי:
- נניח
אינו חסם מלעיל של לכן קיים ולכן קיים כך ש ולכן
- נניח
- הנגדי לא ריק:
יחס סדר
- יחס ההכלה הוא יחס סדר לינארי (מלא) על קבוצת חתכי דדקינד
- הוכחה:
- יהיו שני חתכים A,B.
- אם קיים
חסם מלעיל של A כך ש אזי כל איבר של A אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לB, כלומר - אחרת, לכל
מתקיים כי . כלומר ולכן
- נגדיר את החתכים החיוביים להיות כל החתכים A כך ש
ונגדיר את החתכים השליליים על ידי
- טענה:
אם ורק אם - הוכחה:
- ראשית נניח כי
- כלומר בעצם
ולכן לכל חסם מלעיל מתקיים כי . - לכן לכל
מתקיים כי - כלומר כל האיברים ב
שליליים, ולכן כלומר
- כלומר בעצם
- בכיוון ההפוך, נניח כי
- לכן כל האיברים ב
שליליים. - אם קיים
אזי בסתירה.
- לכן כל האיברים ב
- לכן כל המספרים השליליים שייכים לA, כלומר
ולכן
- ראשית נניח כי
כפל חתכי דדקינד
- יהיו שני חתכי דדקינד אי שליליים
, נגדיר את הכפל: - אם A שלילי, וB אי שלילי, נגדיר:
- אם A אי שלילי, וB שלילי, נגדיר:
- אם A,B שליליים נגדיר:
הוכחה שהמכפלה נותנת חתך דדקינד
- יהיו שני חתכי דדקינד אי שליליים
- ברור שהמכפלה לא ריקה כיוון ש
- כיוון שA,B חתכי דדקינד מדובר בקבוצות חסומות, אז קיימים חסמי מלעיל
בהתאמה. - לכל
מתקיים כי ולכן . זה נכון כי החסמים חיוביים, כי מדובר בחתכים חיוביים.
- אם
צ"ל כי אינו חסם מלעיל של . - אם
ברור שאינו חסם מלעיל של כיוון שיש בקבוצה מספרים חיוביים. - לכן
. - כיוון ש
אינו חסם מלעיל של קיים ולכן בסתירה.
- אם
צ"ל כי חסם מלעיל. - נב"ש כי
אינו חסם מלעיל, לכן יש בקבוצה איבר גדול ממנו. - כיוון ש
נובע כי , ולכן האיבר שגדול ממנו הוא מהצורה . - לכן
, נבחר . - כיוון ש
נובע כי . - לכן
בסתירה.
חתך היחידה
- נגדיר את חתך היחידה, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לכפל.
הופכי
- אם A חיובי נגדיר את ההופכי שלו להיות
- אם A שלילי נגדיר את ההופכי שלו להיות
שדה הממשיים
הגדרת המספרים הממשיים
- הגדרה:
הוא קבוצת כל חתכי דדקינד.
- נוכיח שמדובר בשדה סדור ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל, ולאחר מכן נתאר את הייצוג העשרוני של המספרים הממשיים.
שלמות הממשיים
- תהי
קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים, וחסומה מלעיל (כלומר קיים כך ש . אזי קיים ל חסם עליון ממשי.
הוכחה
- נסמן ב
את האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד ששייכים ל , כלומר
- נוכיח כי האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד הוא גם חתך דדקינד.
אינה ריקה אינה ריקה, ולכן קיים .- כיוון ש
חתך דדקינד הוא אינו ריק. ולכן אינה ריקה
חסומה:- כיוון ש
חסם מלעיל של לכל מתקיים כי - לפי יחס הסדר מתקיים כי
. - כיוון שלכל
מתקיים כי נובע כי גם . - לכן
חסומה מלעיל.
- כיוון ש
- נוכיח כי
אם ורק אם אינו חסם מלעיל של- אם
אזי - אם
חסם מלעיל של אזי הוא בפרט חסם מלעיל של בסתירה. - מצד שני, אם
חסם מלעיל של הוא בפרט חסם מלעיל של כל איברי ולכן אינו שייך לאף אחד מאיברי ולכן אינו שייך ל
- אם
- ברור כי לכל
מתקיים כי כיוון ש (כל קבוצה מוכלת באיחוד).
- נוכיח כי
הוא החסם העליון של . - נב"ש כי קיים
חסם מלעיל של כך ש . - לכן קיים
. - לכן קיים
כך ש . - לכן
בסתירה לכך ש חסם מלעיל של