אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר: הבדלים בין גרסאות בדף
| שורה 4: | שורה 4: | ||
===מכפלה סקלרית=== | ===מכפלה סקלרית=== | ||
<math>v\cdot w = |v||u|\cos(\theta)</math> | |||
<videoflash>MU45juH2U_c</videoflash> | <videoflash>MU45juH2U_c</videoflash> | ||
===מכפלה פנימית=== | ===מכפלה פנימית=== | ||
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> | |||
מכפלה פנימית היא מכפלה <math>\langle \cdot, \cdot\rangle:V\times V\to \mathbb{F}</math> המקיימת את ארבע התכונות הבאות: | |||
לכל <math>x,y\in V</math> ולכל <math>c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי: | |||
*אדטיביות <math>\langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle</math> | |||
*כפל בסקלר <math>\langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle</math> | |||
*הרמיטיות <math>\langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle}</math> | |||
*אי שליליות <math>\langle x,x\rangle \geq 0</math> וכן <math>\langle x,x\rangle =0</math> אם ורק אם <math>x=0</math> | |||
<videoflash>JEfRTZj1sPE</videoflash> | |||
<math>\langle av_1 +bv_2 ,cw_1+dw_2\rangle = a\overline{c}\langle v_1,w_1\rangle + a\overline{d}\langle v_1,w_2\rangle+ | |||
b\overline{c}\langle v_2,w_1\rangle+b\overline{d}\langle v_2,w_2\rangle</math> | |||
<videoflash>25A8rn3_wGI</videoflash> | |||
===נורמה ונורמה מושרית=== | ===נורמה ונורמה מושרית=== | ||
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> | |||
נורמה היא פונקציה <math>||\cdot||:V\to\mathbb{R}</math> המקיימת את שלושת התכונות הבאות. | |||
לכל <math>x,y\in V</math> ולכל <math>c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי: | |||
*אי שליליות <math>||x|\geq 0</math> וכן <math>||x||=0</math> אם ורק אם <math>x=0</math> | |||
*כפל בסקלר <math>||cx|| = |c|\cdot ||x||</math> | |||
*אי שיוויון המשולש <math>||x+y||\leq ||x||+||y||</math> | |||
<videoflash>jNCVpE8duhE</videoflash> | |||
===מכפלה פנימית מושרית=== | ===מכפלה פנימית מושרית=== | ||
גרסה מ־08:01, 17 באפריל 2022
סרטונים ותקצירי הרצאות
פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה
מכפלה סקלרית
[math]\displaystyle{ v\cdot w = |v||u|\cos(\theta) }[/math]
מכפלה פנימית
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math]
מכפלה פנימית היא מכפלה [math]\displaystyle{ \langle \cdot, \cdot\rangle:V\times V\to \mathbb{F} }[/math] המקיימת את ארבע התכונות הבאות:
לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי:
- אדטיביות [math]\displaystyle{ \langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle }[/math]
- כפל בסקלר [math]\displaystyle{ \langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle }[/math]
- הרמיטיות [math]\displaystyle{ \langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle} }[/math]
- אי שליליות [math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle \geq 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle =0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \langle av_1 +bv_2 ,cw_1+dw_2\rangle = a\overline{c}\langle v_1,w_1\rangle + a\overline{d}\langle v_1,w_2\rangle+
b\overline{c}\langle v_2,w_1\rangle+b\overline{d}\langle v_2,w_2\rangle }[/math]
נורמה ונורמה מושרית
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math]
נורמה היא פונקציה [math]\displaystyle{ ||\cdot||:V\to\mathbb{R} }[/math] המקיימת את שלושת התכונות הבאות.
לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי:
- אי שליליות [math]\displaystyle{ ||x|\geq 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ ||x||=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]
- כפל בסקלר [math]\displaystyle{ ||cx|| = |c|\cdot ||x|| }[/math]
- אי שיוויון המשולש [math]\displaystyle{ ||x+y||\leq ||x||+||y|| }[/math]
מכפלה פנימית מושרית
- האם כל נורמה היא נורמה מושרית?
- האם ייתכן שנורמה תהיה הנורמה המושרית של שתי מכפלות פנימיות שונות?
לתשובות ולהוכחות קראו את הערך מכפלה פנימית מושרית.
פרק 2 - המרחב הניצב
- משפט הפירוק הניצב
- בא"נ והיטלים
- אי שיוויון בסל
- משפט פיתגורס
- גרם שמידט