שינויים

המספר L איננו הגבול של הסדרה של <math>\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} </math>אם קיים <math>\varepsilon_{0}>0 </math> כך שלכל <math>n_{0} </math> קיים <math>n\geq n_{0} </math> כך שמתקיים <math>\mid L-a_{n}\mid\geq\varepsilon_{0} </math>. במילים:הסדרה <math>\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} </math> אינה מתכנסת לגבול L אם ורק אם קיים <math>\varepsilon_{0}>0 </math> מסויים כך שאינסוף מאיברי הסדרה נמצאים מחוץ לסביבה <math>B_{\varepsilon}\left(L\right) </math>. ===תרגיל:===הוכח כי 2 אינו הגבול של <math>a_{n}=\frac{3n+1}{n} </math>.  ===פתרון:=== עלינו למצוא <math>\varepsilon_{0}>0 </math> מסויים כל שלכל <math>n_{0} </math> טבעי קיים <math>n\geq n_{0} </math> כך שיתקיים <math>\mid2-\frac{3n-1}{n}\mid\geq\varepsilon_{0} </math>. <math>\mid2-\frac{3n-1}{n}\mid=\mid\frac{-n-1}{n}\mid=\frac{n+1}{n}>1 </math> קיבלנו שמרחק בין 2 לבין כל אחד מאיברי הסדרה הוא יותר גדול מ-1 ולכן אם נבחר <math>\varepsilon_{0}=\frac{1}{2} </math> לא נוכל למצוא אף <math>n_{0} </math> שעבורו כמעט כל איברי הסדרה יהיו בסביבה <math>\left(2-\frac{1}{2},2+\frac{1}{2}\right) </math>.  ===הגדרה=== סדרה <math>\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} </math> היא סדרה מתבדרת אם כל מספר ממשי a אינו הגבול של <math>\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty} </math>. ===דוגמאות לסדרות מתבדרות=== 1) <math>a_{n}=n </math> 2) <math>b_{n}=\left(-1\right)^{n} </math> ===הערות=== 1) שתי סדרות הן שוות אם ורק אם <math>a_{n}=b_{n} </math> לכל n טבעי, למשל סדרה 101010... שונה מהסדרה 010101... 2) אם סדרה מתכנסת לגבול אזי הוא יחיד, כלומר אם N הוא גבול של סדרה וגם L הוא גבול של אותה סדרה אזי N=L.