88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 2

סדרות

הגדרה

סדרה של מספרים ממשיים היא פונקציה $f:\mathbb{N\rightarrow\mathbb{R}}$ שלכל $n\in\mathbb{N}$ מתאימה מספר ממשי $a_{n}=f\left(n\right)$ שנקרא האיבר ה-n-י של הסדרה.

סדרה היא רשימה אינסופית מסודרת של מספרים ממשיים: $a_{1},a_{2},...$ שנסמנה $a_{1},a_{2},...$, והמספר ה-n נקרא האינדקס של האיבר $a_{n}$.

$a_{n}$ נקרא האיבר הכללי של הסדרה ואם הוא נתון על ידי נוסחה אלגברית אזי הביטוי $a_{n}$ נקרא הנוסחה האלגברית של הסדרה.

דוגמאות

1) הסדרה $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}....$ נקראת הסדרה ההרמונית. נוסחת האיבר הכללי שלה היא שלה $a_{n}=\frac{1}{n}$.

2) אם $s\in\mathbb{R}$ הסדרה $s,s^{2},s^{3},....$ נקראת הסדרה ההנדסית עם בסיס s ואיברה הכללי הוא $a_{n}=s^{n}$.

3) הסדרה s,s,s,s... נקראת הסדרה הקבועה ונסמנה הסדרה הקבועה שערכה s ונסמנה $a_{n}=s$.

הגדרה (סביבת ה-אפסילון של הנקודה)

יהי $x_{0}\in\mathbb{R}$ ויהי $\varepsilon>0$, סביבת ה-אפסילון של $x_{0}$ שמסומנת ב- $B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)$ ומוגדרת ע"י $B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)=\left\{ x\in\mathbb{R}:\mid x-x_{0}\mid<\varepsilon\right\}$. כדאי לחשוב על $B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)$ כקבוצת הנקודות שמרחקם מ-$x_{0}$ קטן מ-$\varepsilon$. $x\in B_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)$ אם ורק אם $x\in\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right)$.

הגדרה (גבול של סדרה)

תהי $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ סדרה נתונה. נאמר שמספר L הוא גבול של סדרה $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ אם לכל $\varepsilon>0$ קטן ככל שיהיה קיים מספר טבעי $n_{0}$ כך שלכל $n\geq n_{0}$ מתקיים $\mid a_{n}-L\mid<\varepsilon$.

במילים: לכל $\varepsilon>0$ יש לכל היותר מספר סופי של איברי הסדרה שאינם נמצאים בתוך הסביבה $B_{\varepsilon}\left(L\right)=\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right)$. (במילים אחרות החל ממקום $n_{0}$ כל איברי הסדרה יהיו בתוך הסביבה $B_{\varepsilon}\left(L\right)=\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right)$ של L).

אם L הוא גבול של סדרה $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ אז נרשום $lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L$ או $a_{n}\rightarrow L$.

אם לסדרה יש גבול נאמר שהסדרה מתכנסת (או שואפת לגבול זה), אם אין לסדרה גבול נאמר שהיא מתבדרת.

דוגמאות

1) הסדרה $a_{n}=\frac{1}{n}$ מתכנסת לגבול L=0, או בקיצור $lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$.

הוכחה: נוכיח ש-0 הוא באמת הגבול של הסדרה לפי ההגדרה של הגבול

יהי $\varepsilon>0$, רוצים להוכיח שקיים מקום בסדרה שנסמנו ב-$n_{0}$ כל שהחל מהמקום הזה כלומר עבור כל $n\geq n_{0}$ מתקיים $\mid\frac{1}{n}-0\mid<\varepsilon$.

מתקיים $\mid\frac{1}{n}-0\mid=\frac{1}{n}<\varepsilon\Leftrightarrow n>\frac{1}{\varepsilon}$ ולכן אם נבחר $n_{0}>\frac{1}{\varepsilon}$ נקבל $\mid\frac{1}{n}-0\mid=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n_{0}}<\varepsilon$.

2) אם $a_{n}=s$ הסדרה הקבועה ולכן הגבול שלה הוא $lim_{n\rightarrow\infty}\left(s\right)=s$.

3) לכל $\alpha\geq0$ $lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}=0$.

תרגיל:

מצא את גבול הסדרה $lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n-1}{n}$ והוכח לפי ההגדרה שזה באמת הגבול.

פתרון:

$\frac{n-1}{n}=1+\frac{1}{n}$ ולכן נסיק שהגבול הוא 1. 

יהיה $\varepsilon>0$, רוצים להוכיח שקיים $n_{0}$ כך שלכל $n\geq n_{0}$ מתקיים $\mid\frac{n-1}{n}-1\mid<\varepsilon$.

$\mid\frac{n-1}{n}-1\mid<\varepsilon$ אם ורק אם $n>\frac{1}{\varepsilon}$ ולכן כמו מקודם מבחר $n_{0}>\frac{1}{\varepsilon}$ כך שלכל $n\geq n_{0}$ מתקיים $\mid\frac{n-1}{n}-1\mid=\mid-\frac{1}{n}\mid=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n_{0}}<\varepsilon$.

תנאי הכרחי ומספי לאי קיום הגבול

המספר L איננו הגבול של הסדרה של $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ אם קיים $\varepsilon_{0}>0$ כך שלכל $n_{0}$ קיים $n\geq n_{0}$ כך שמתקיים $\mid L-a_{n}\mid\geq\varepsilon_{0}$.

במילים:הסדרה $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ אינה מתכנסת לגבול L אם ורק אם קיים $\varepsilon_{0}>0$ מסויים כך שאינסוף מאיברי הסדרה נמצאים מחוץ לסביבה $B_{\varepsilon}\left(L\right)$.

תרגיל:

הוכח כי 2 אינו הגבול של $a_{n}=\frac{3n+1}{n}$.

פתרון:

עלינו למצוא $\varepsilon_{0}>0$ מסויים כל שלכל $n_{0}$ טבעי קיים $n\geq n_{0}$ כך שיתקיים $\mid2-\frac{3n-1}{n}\mid\geq\varepsilon_{0}$.

$\mid2-\frac{3n-1}{n}\mid=\mid\frac{-n-1}{n}\mid=\frac{n+1}{n}>1$ קיבלנו שמרחק בין 2 לבין כל אחד מאיברי הסדרה הוא יותר גדול מ-1 ולכן אם נבחר $\varepsilon_{0}=\frac{1}{2}$ לא נוכל למצוא אף $n_{0}$ שעבורו כמעט כל איברי הסדרה יהיו בסביבה $\left(2-\frac{1}{2},2+\frac{1}{2}\right)$.

הגדרה

סדרה $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ היא סדרה מתבדרת אם כל מספר ממשי a אינו הגבול של $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$.

דוגמאות לסדרות מתבדרות

1) $a_{n}=n$

2) $b_{n}=\left(-1\right)^{n}$

הערות

1) שתי סדרות הן שוות אם ורק אם $a_{n}=b_{n}$ לכל n טבעי, למשל סדרה 101010... שונה מהסדרה 010101...

2) אם סדרה מתכנסת לגבול אזי הוא יחיד, כלומר אם N הוא גבול של סדרה וגם L הוא גבול של אותה סדרה אזי N=L.

הגדרות

1) נאמר כי סדרה $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ מתכנסת לאיסוף או שואפת לאיסוף אם לכל מספר ממשי M כמעט כל איברי הסדרה גדולים מ-M, ז"א לכל M קיים $n_{0}$ טבעי כך שלכל $n\geq n_{0}$ $a_{n}>M$ ונרשום $lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty$.

2) נאמר שסדרה $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ מתכנסת למינוס אינסוף אם לכל L קיים $n_{0}$ טבעי כל שלכל $n\geq n_{0}$ $a_{n}<L$ ונרשום $lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=-\infty$

לדוגמה

$a_{n}=n\Leftrightarrow lim_{n\rightarrow\infty}n=\infty$

טכניקות בסיסיות לחישוב כבולות

תרגיל:

חשב כבול של $c_{n}=\frac{n^{2}+n-1}{n^{2}+1}$

פתרון:

גם המונה וגם המכנה שואפים לאינסוף לכן לא נוכל מידית להסיק מה הוא הגבול ולכן נשתמש בטריק הבא: נבחר את החזקה הכי גבוהה של n בביטוי במקרה שלה היא $n^{2}$ ונוציא אותה מחות לסוגריים גם במונה וגם במכנה ונקבל:

$\frac{n^{2}\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}\right)}{n^{2}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)}=\frac{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}}{1+\frac{1}{n}}\rightarrow1$.

טענה (כלל המנה)

אם $a_{n}\rightarrow\pm\infty$ אז $\frac{1}{a_{n}}\rightarrow0$

ואם $a_{n}\rightarrow0$ אז $\frac{1}{\mid a_{n}\mid}\rightarrow\infty$

תרגיל

מצא את הגבול של $a_{n}=\frac{n^{2}}{2n+1}$

פתרון

נשתמש באותו טריק כמו בתרגיל הקודם $\frac{n^{2}}{2n+1}=\frac{n^{2}\cdot1}{n^{2}(\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}})}=\frac{1}{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}$

נתבונן בסדרה $\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}$ ברור שהגבול שלה הוא אפס ולכן לפי הלמה הקודמת $\frac{1}{\mid\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\mid}\rightarrow\infty$ אבל כל אחד מאיברי הסדרה הוא חיובי ולכן ניתן להוריד את ערך המוחלט ונקבל $\frac{1}{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}\rightarrow\infty$.

טענה:

אם $lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L$ ואם לכל n $a_{n}\geq0$ אזי $lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{a_{n}}=\sqrt{L}$.

תרגיל

חשבו את $lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+n+1}}$

פתרון

נתבונן בסדרה $a_{n}=\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+n+1}$ ברור שכל איברי הסדרה הם אי שליליים ולכן נוכל להשתמש בטענה הקודמת:

$lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+n+1}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{2}\left(3-\frac{2}{n^{2}}\right)}{n^{2}\left(2+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)}=\frac{3}{2}$ ולכן הגבול של הסדרה שלנו הוא פשוט: $lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+n+1}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$

הערה

אם $lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L$ וכל איברי הסדרה הם אי שליליים אזי $lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[k]{a_{n}}=\sqrt[k]{L}$.

כפל במספר צמוד

תרגיל

חשב את הגבול של $a_{n}=\sqrt{n+2}-\sqrt{n}$

פתרון

מחובר הראשון נוסחה של האיבר הכללי שואף לאינסוף ואילו המחובר השני שואף ומינוס אינסוף ולכן לא מובן כאן מה יכול להיות הגבול, ולכן נכפיל את המונה ואת המכנה במסר צמוד ונחשב את הגבול:

$lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+2-n}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n}\cdot\frac{2}{\sqrt{n}}}{\sqrt{n}\left(1+\frac{2}{n}+1\right)}=0$

תרגיל

חשב את הגבול של $a_{n}=n\left(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1}\right)$

פתרון

גם כאן נכפיל ונחלק את הביטוי במספר צמוד ונקבל:

$lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\left(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1}\right)\left(\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1}\right)}{\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1}}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n}{n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}\right)}=1$

שאלה

האם סדרה חייבת להתכנס למספר או לפלוס איסוף או למינוס איסוף?

תשובה

לא!

דוגמאות לסדרות שלא מתכנסות לא למספר ולא לאינסוף ולא למינוס אינסוף

1) $a_{n}=\left(-1\right)^{n}$

2) $\left(-1\right)^{n}n$

טענה

תהי $a_{n}=s^{n}$ סדרה הנדסית. אזי $lim_{n\rightarrow\infty}s^{n}=\begin{cases} 0 & 0\leq s<1\\ 1 & s=1\\ \infty & s>1 \end{cases}$

תרגיל

חשב את הגבול של $a_{n}=\frac{3^{n-1}}{2^{n}}$

פתרון

$lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3^{n-1}}{2^{n}}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3^{n}3^{-1}}{2^{n}}=lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}3^{-1}=\infty$

השוויון האחרון נכון כי $\left(\frac{3}{2}\right)$ היא סדרה הנדסית בבסיס $\frac{3}{2}>1$ ולכן לפי טענה קודמת קיבלנו שהגבול הוא אינסופי.