הבדלים בין גרסאות בדף "88-101 חשיבה מתמטית קיץ תשעא/תרגילים/פתרון 1"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "===הצרנות=== *הצרן את הטענות הבאות (מותר לכם להשתמש בפרדיקטים סבירים, בתנאי שתגדירו אותם): **לכ...") |
(←הצרנות) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
===הצרנות=== | ===הצרנות=== | ||
− | + | ||
**לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו. | **לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו. | ||
+ | <math>\forall x\in\mathbb{R}\exists n\in\mathbb{N}:n>x</math> | ||
+ | |||
+ | |||
**אקסיומת האינדקוציה: אם פרידקט כלשהו אמיתי באחד (<math>P(1)\equiv T</math>) וכמו כן, העובדה שהוא אמיתי עבור n גוררת שהוא אמיתי עבור n+1 אזי הוא אמיתי תמיד. | **אקסיומת האינדקוציה: אם פרידקט כלשהו אמיתי באחד (<math>P(1)\equiv T</math>) וכמו כן, העובדה שהוא אמיתי עבור n גוררת שהוא אמיתי עבור n+1 אזי הוא אמיתי תמיד. | ||
+ | <math>\Big[P(1)\and (\forall n\in\mathbb{N}:P(n)\rightarrow P(n+1))\Big]\rightarrow\forall n\in\mathbb{N}:P(n)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
**x הינו מספר ראשוני (מספר המתחלק רק בעצמו ובאחד). | **x הינו מספר ראשוני (מספר המתחלק רק בעצמו ובאחד). | ||
+ | נגדיר את הפרדיקט בעל שני המשתנים "x מחלק את y" ונסמן אותו באופן הנהוג <math>x|y</math>. לכן x ראשוני אם <math>\forall n\in\mathbb{N}: (n|x)\rightarrow ((n=1)\or(n=x))</math> | ||
+ | |||
+ | |||
**כל מספר ראשוני הינו סכום של מספרים זוגיים. | **כל מספר ראשוני הינו סכום של מספרים זוגיים. | ||
+ | <math>\forall x\in\mathbb{N}:\Big[\forall n\in\mathbb{N}: (n|x)\rightarrow ((n=1)\or(n=x))\Big]\rightarrow \Big[\exists n\in\mathbb{N}\exists k\in\mathbb{N}:2n+2k=x\Big]</math> | ||
+ | |||
+ | |||
**קיימים אינסוף תאומים (תאומים הם זוג ראשוניים אשר ההפרש בינהם הינו שתים.) | **קיימים אינסוף תאומים (תאומים הם זוג ראשוניים אשר ההפרש בינהם הינו שתים.) | ||
גרסה מ־06:09, 5 באוגוסט 2011
תוכן עניינים
הצרנות
- לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו.
- אקסיומת האינדקוציה: אם פרידקט כלשהו אמיתי באחד () וכמו כן, העובדה שהוא אמיתי עבור n גוררת שהוא אמיתי עבור n+1 אזי הוא אמיתי תמיד.
- x הינו מספר ראשוני (מספר המתחלק רק בעצמו ובאחד).
נגדיר את הפרדיקט בעל שני המשתנים "x מחלק את y" ונסמן אותו באופן הנהוג . לכן x ראשוני אם
- כל מספר ראשוני הינו סכום של מספרים זוגיים.
- קיימים אינסוף תאומים (תאומים הם זוג ראשוניים אשר ההפרש בינהם הינו שתים.)
קבוצות
הגדרה: איחוד של שתי קבוצות A וB הוא קבוצת האיברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. החיתוך הוא קבוצת האיברים שנמצאים בשתי הקבוצות.
- הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
- הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
- הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לחיתוך של הקבוצות A וB
- הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לחיתוך של הקבוצות A וB
הגדרה: קבוצה A מוכלת בקבוצה B אם בB נמצאים כל האיברים מA (למשל הטבעיים מוכלים בשלמים , והשלמים מוכלים בממשיים ).
- הצרן תנאי השקול לכך ש-C מוכלת בחיתוך של A וB
- הצרן תנאי השקול לכך ש-C אינה מוכלת באיחוד של A וB
(מותר לכם להשתמש בכמתים באופן הבא )
שקילות
הגדרה: טענות שקולות אם ((כולן אמיתיות יחד) או (כולן שקריות יחד)).
- הוכח שמספיק להוכיח את הטענות הבאות על מנת להוכיח ש שקולות:
,
,
,
דרכי הוכחה
הוכח שהפסוקים הבאים הינם טאוטולוגיות:
(נהוג להחליף ביטויים מהצורה הזו בביטויים השקולים להם כי הם נוחים יותר להוכחה מידי פעם.)