88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות: הבדלים בין גרסאות בדף
| שורה 28: | שורה 28: | ||
::<math>a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3}</math> | ::<math>a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3}</math> | ||
::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}=0</math> | ::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}=0</math> | ||
| שורה 33: | שורה 34: | ||
לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי אפס, ולכן הסדרה מתכנסת. | לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי אפס, ולכן הסדרה מתכנסת. | ||
<font size=4 color=#a7adcd> | |||
'''תרגיל.''' | |||
</font> | |||
יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math>. כעת, נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחאת הנסיגה''' (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו): | |||
::<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}</math> | |||
::<math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}</math> | |||
גרסה מ־07:30, 3 בנובמבר 2011
סדרות מונוטוניות
הגדרה. סדרה נקראת מונוטונית עולה (יורדת) אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמו)
דוגמאות.
- [math]\displaystyle{ 1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,... }[/math]
- [math]\displaystyle{ 0,0.9,0.99,0.999,... }[/math]
- [math]\displaystyle{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},... }[/math]
משפט. סדרה מונוטונית וגם חסומה מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.
תרגיל.
הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n} }[/math]
פתרון.
נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n\leq 0 }[/math] ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3} }[/math]
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}=0 }[/math]
לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי אפס, ולכן הסדרה מתכנסת.
תרגיל.
יהיו [math]\displaystyle{ \alpha,\beta\gt 0 }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ a_1=\alpha,b_1=\beta }[/math]. כעת, נגדיר סדרות באמצעות נוסחאת הנסיגה (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n} }[/math]