משפט בולצאנו-ויירשטראס: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה מ־20:44, 4 בנובמבר 2011

משפט בולצאנו ויירשטראס לסדרות

לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת

הוכחה

ראשית, נזכר בלמה של קנטור. יהי [math]\displaystyle{ \{I_n\} }[/math] אוסף של קטעים סגורים [math]\displaystyle{ I_n=[a_n,b_n] }[/math] כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית לא יורדת, ו[math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית לא עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף לאפס, כלומר [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}b_n-a_n =0 }[/math].

אזי קיימת נקודה יחידה השייכת לכל הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math].)

נביט כעת בסדרה חסומה [math]\displaystyle{ -M\leq a_n \leq M }[/math] (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיוון שבסדרה ישנם אינסוף איברים, הקטע [math]\displaystyle{ I_1:=[-M,M] }[/math] מכיל אינסוף איברים מהסדרה.

נביט כעת בשני חצאי הקטע [math]\displaystyle{ [-M,0],[0,M] }[/math]. בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים מהסדרה (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב [math]\displaystyle{ I_2 }[/math]. נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איברים.

אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים [math]\displaystyle{ I_1\subseteq I_2 \subseteq \cdots }[/math] המקיימת את התכונות הבאות:

כל קטע מכיל אינסוף איברים מהסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math]

כל קטע מוכל בקודמו

אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיוון שאורך הקטע הראשון הינו 2M אורך הקטע [math]\displaystyle{ I_n }[/math] שווה ל[math]\displaystyle{ \frac{M}{2^{n-2}} }[/math]. ברור שאורך הקטעים שואף לאפס לכן.

לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל בכל הקטעים הללו, נקרא לה L. נוכיח כי L הינו גבול חלקי של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הינו קיום תת סדרה השואפת אליו).

יהי אפסילון גדול מאפס, רוצים להוכיח כי בסביבת אפסילון של L ישנם אינסוף איברים מהסדרה.
כיוון שאורך הקטעים שבנינו שואפים לאפס, יש קטע שאורכו קטן מאפסילון חלקי 2.
לפי ההגדרה של L מהלמה של קנטור, L מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.
לכן בוודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת אפסילון של L.
אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף איברים מהסדרה בסביבת אפסילון של L.

כפי שרצינו להוכיח.

@@ שורה 3: / שורה 3: @@
 ==הוכחה==
+ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא יורדת, ו<math>b_n</math> מונוטונית לא עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף לאפס, כלומר <math>\lim_{n\rightarrow\infty}b_n-a_n =0</math>.
+אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math>.)
+נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\leq a_n \leq M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיוון שבסדרה ישנם אינסוף איברים, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף איברים מהסדרה.
+נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math>. '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב <math>I_2</math>. נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איברים.
+אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\subseteq I_2 \subseteq \cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות:
+*כל קטע מכיל אינסוף איברים מהסדרה <math>a_n</math>
+*כל קטע מוכל בקודמו
+*אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיוון שאורך הקטע הראשון הינו 2M אורך הקטע <math>I_n</math> שווה ל<math>\frac{M}{2^{n-2}}</math>. ברור שאורך הקטעים שואף לאפס לכן.
+לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל '''בכל''' הקטעים הללו, נקרא לה L. נוכיח כי L הינו גבול חלקי של <math>a_n</math> ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הינו קיום תת סדרה השואפת אליו).
+*יהי אפסילון גדול מאפס, רוצים להוכיח כי בסביבת אפסילון של L ישנם אינסוף איברים מהסדרה.
+*כיוון שאורך הקטעים שבנינו שואפים לאפס, יש קטע שאורכו קטן מאפסילון חלקי 2.
+*לפי ההגדרה של L מהלמה של קנטור, L מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.
+*לכן בוודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת אפסילון של L.
+*אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף איברים מהסדרה בסביבת אפסילון של L.
+כפי שרצינו להוכיח.