משפט המימדים

חזרה למשפטים בלינארית

משפט המימדים

יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי מרחב של V. אזי:

[math]\displaystyle{ dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W) }[/math]

הוכחה

נסמן את הבסיס ל [math]\displaystyle{ U\cap W }[/math] ב [math]\displaystyle{ \{v_1,v_2,...,v_k\} }[/math].

כיוון ש[math]\displaystyle{ U\cap W \subseteq U,W }[/math], ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס לU ובאופן דומה לבסיס לW.

נסמן את הבסיסים ב [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p\},\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_m\} }[/math].

נסמן את איחוד הבסיסים ב [math]\displaystyle{ B=\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p,w_1,...,w_m\} }[/math], ונוכיח כי B הינו בסיס לU+W.

B פורש את U+W

יהי [math]\displaystyle{ u+w\in U+W }[/math]. אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, [math]\displaystyle{ u+w=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1v_1+...+c_kv_k+d_1w_1+...+d_mw_m }[/math].

ברור אם כך כי [math]\displaystyle{ u+w\in span(B) }[/math]

B בת"ל

ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:

[math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1w_1+...+c_mu_m=0 }[/math].

נסמן [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=-c_1w_1-...-c_mu_m }[/math]

ברור משני אגפי המשוואה כי [math]\displaystyle{ v\in U \and v\in W }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ v\in U\cap W }[/math]

לכן ל-v יש הצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס לחיתוך, [math]\displaystyle{ v=d_1v_1+...+d_kv_k }[/math].

כמו כן, ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:

[math]\displaystyle{ v=d_1v_1+...+d_kv_k+0\cdot u_1+...+0\cdot u_p = a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ b_1=b_2=...=b_p=0 }[/math].

כעת קיבלנו כי [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_kv_k+c_1w_1+...+c_mu_m=0 }[/math],

אבל זה צירוף לינארי של איברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלי.

מכאן שהצירוף הלינארי היחיד שמתאפס של איברי B הינו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.

ספירת מימדים וסיכום

מצאנו, איפוא, בסיסים לכל תתי המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:

[math]\displaystyle{ dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W) }[/math]