מבחן השורש של קושי: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים== יהי <math>\sum a_n</math> ט...") |
|||
| שורה 5: | שורה 5: | ||
יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי. אזי: | יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי. אזי: | ||
::אם <math>\limsup a_n >1</math> הטור מתבדר | ::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} >1</math> הטור מתבדר | ||
::אם <math>\limsup a_n <1</math> הטור מתכנס | ::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} <1</math> הטור מתכנס | ||
::אם <math>\limsup a_n =1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה. | ::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה. | ||
===הוכחה=== | |||
נניח כי <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =d>1</math>. נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון: | |||
::<math>\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math> | |||
*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\frac{d-1}{2}>1</math>. | |||
*לכן <math>a_{n_k}>\Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k}</math> | |||
*לכן <math>\lim a_{n_k}=\infty</math> | |||
*לכן בפרט <math>a_n\not\rightarrow 0</math> | |||
ולכן הטור מתבדר. | |||
גרסה מ־09:46, 2 בפברואר 2012
מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים
יהי [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] טור חיובי. אזי:
- אם [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} \gt 1 }[/math] הטור מתבדר
- אם [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} \lt 1 }[/math] הטור מתכנס
- אם [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} =1 }[/math] לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
הוכחה
נניח כי [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} =d\gt 1 }[/math]. נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
- [math]\displaystyle{ \lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d }[/math]
- לכן החל ממקום מסויים בסדרה, [math]\displaystyle{ \sqrt[n_k]{a_{n_k}}\gt \frac{d-1}{2}\gt 1 }[/math].
- לכן [math]\displaystyle{ a_{n_k}\gt \Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k} }[/math]
- לכן [math]\displaystyle{ \lim a_{n_k}=\infty }[/math]
- לכן בפרט [math]\displaystyle{ a_n\not\rightarrow 0 }[/math]
ולכן הטור מתבדר.