משפט בולצאנו-ויירשטראס

משפט בולצאנו ויירשטראס לסדרות

לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת

הוכחה

ראשית, נזכר בלמה של קנטור. יהי [math]\displaystyle{ \{I_n\} }[/math] אוסף של קטעים סגורים [math]\displaystyle{ I_n=[a_n,b_n] }[/math] כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית לא יורדת, ו[math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית לא עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף לאפס, כלומר [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}b_n-a_n =0 }[/math].

אזי קיימת נקודה יחידה השייכת לכל הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math].)

נביט כעת בסדרה חסומה [math]\displaystyle{ -M\leq a_n \leq M }[/math] (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיוון שבסדרה ישנם אינסוף איברים, הקטע [math]\displaystyle{ I_1:=[-M,M] }[/math] מכיל אינסוף איברים מהסדרה.

נביט כעת בשני חצאי הקטע [math]\displaystyle{ [-M,0],[0,M] }[/math]. בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים מהסדרה (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב [math]\displaystyle{ I_2 }[/math]. נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איברים.

אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים [math]\displaystyle{ I_1\supseteq I_2 \supseteq \cdots }[/math] המקיימת את התכונות הבאות:

• כל קטע מכיל אינסוף איברים מהסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math]

• כל קטע מוכל בקודמו

• אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיוון שאורך הקטע הראשון הינו 2M אורך הקטע [math]\displaystyle{ I_n }[/math] שווה ל[math]\displaystyle{ \frac{M}{2^{n-2}} }[/math]. ברור שאורך הקטעים שואף לאפס לכן.

לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל בכל הקטעים הללו, נקרא לה L. נוכיח כי L הינו גבול חלקי של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הינו קיום תת סדרה השואפת אליו).

• יהי אפסילון גדול מאפס, רוצים להוכיח כי בסביבת אפסילון של L ישנם אינסוף איברים מהסדרה.
• כיוון שאורך הקטעים שבנינו שואפים לאפס, יש קטע שאורכו קטן מאפסילון חלקי 2.
• לפי ההגדרה של L מהלמה של קנטור, L מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.
• לכן בוודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת אפסילון של L.
• אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף איברים מהסדרה בסביבת אפסילון של L.

כפי שרצינו להוכיח.