סיווג נקודה חשודה

הגדרת נקודה חשודה

תהי f פונקציה ממשית. נקודה x בתחום ההגדרה של f נקראת חשודה אם [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math] או שהנגזרת אינה מוגדרת ב-x

סיווג נקודות חשודות

משפט. תהי f פונקציה הגזירה ברציפות n+1 פעמים בסביבת הנקודה a. עוד נניח כי

[math]\displaystyle{ f'(a)=f''(a)=...=f^{(n)}(a)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(a)\neq 0 }[/math]

אזי:

• אם n+1 זוגי וגם [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(a)\gt 0 }[/math]אזי a נקודת מינימום מקומי
• אם n+1 זוגי וגם [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(a)\lt 0 }[/math]אזי a נקודת מקסימום מקומי
• אם n אי זוגי אזי a נקודת פיתול

הוכחה.

לפי טיילור לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:

[math]\displaystyle{ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} }[/math]

אבל לפי ההנחה כי n הנגזרות הראשונות מתאפסת ב-a, מתקיים

[math]\displaystyle{ f(x)-f(a)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} }[/math]

לכן, אם n+1 זוגי וגם [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(a)\gt 0 }[/math] לפי רציפות הנגזרת השנייה קיימת סביבה של a בה [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}\gt 0 }[/math] ולכן לכל x בסביבה זו מתקיים:

[math]\displaystyle{ f(x)-f(a)\geq 0 }[/math]

שכן [math]\displaystyle{ (x-a)^{(n+1)}\geq 0 }[/math] תמיד עבור n+1 זוגי.

כלומר אם [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(a)\gt 0 }[/math] אזי x הינה נקודת מינימום

באופן דומה, אם [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(a)\lt 0 }[/math] אזי x הינה נקודת מקסימום

אם n+1 אי זוגי, אזי הסימן של [math]\displaystyle{ (x-a)^{(n+1)} }[/math] חיובי בסביבה ימנית של a ושלילי משמאלה.

כיוון שסימן [math]\displaystyle{ f^{(n+1)} }[/math] קבוע בסביבה של a, סה"כ מצד אחד [math]\displaystyle{ f(x)\gt f(a) }[/math] ומהצד השני [math]\displaystyle{ f(x)\lt f(a) }[/math].

אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב-a ולכן המשיק הוא [math]\displaystyle{ y=f(a) }[/math], ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן a הינה נקודת פיתול