מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון דוגמא 1

חזרה לתרגיל

דוגמא:

מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

• [math]\displaystyle{ |x^2-1| + |x-2|\gt 4x+5 }[/math]

פתרון:

על מנת לפתור את אי השיוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה x למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.

בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.

חלוקה למקרים

ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:

• [math]\displaystyle{ x^2-1\geq 0 }[/math]

אם ורק אם:

[math]\displaystyle{ x\geq 1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x \leq -1 }[/math]

• [math]\displaystyle{ x-2\geq 0 }[/math]

אם ורק אם:

[math]\displaystyle{ x\geq 2 }[/math]

ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:

• עבור [math]\displaystyle{ x\geq 2 }[/math]

מתקיים [math]\displaystyle{ x^2-1\geq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-2\geq 0 }[/math]

• עבור [math]\displaystyle{ 1\leq x \lt 2 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\leq -1 }[/math]

מתקיים [math]\displaystyle{ x^2-1\geq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-2\lt 0 }[/math]

• עבור [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 1 }[/math]

מתקיים [math]\displaystyle{ x^2-1\lt 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x-2\lt 0 }[/math]

פתרון אי השיוויון בכל אחד מן המקרים

נבדוק עבור אילו ערכי x מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי השיוויון.

• עבור [math]\displaystyle{ x\geq 2 }[/math] אי השיוויון נראה כך:

[math]\displaystyle{ x^2-1+x-2\gt 4x+5 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2-3x-8\gt 0 }[/math]

נמצא מהם ערכי x שגם נמצאים בתחום אותו אנו בודקים וגם מקיימים את אי השיוויון:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}x\geq 2 \\ x^2-3x-8\gt 0\end{cases} }[/math]

ערכי x אשר מתקיים את שתי אי השיוויונים לעיל הם

[math]\displaystyle{ x\gt \frac{3+\sqrt{41}}{2} }[/math]

לכן ערכי x אשר גם נמצאים בתחום וגם אינם מקיימים את אי השיוויון הם

[math]\displaystyle{ 2\leq x \leq \frac{3+\sqrt{41}}{2} }[/math]

כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים בדיוק מתי מתקיים אי השיוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:

• עבור [math]\displaystyle{ 1\leq x \lt 2 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\leq -1 }[/math] אי השיוויון נראה כך:

[math]\displaystyle{ x^2-1-(x-2)\gt 4x+5 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2-5x-4\gt 0 }[/math]

מסתבר שערכי x שגם נמצאים בתחום אותו אנו בודקים וגם מקיימים את אי השיוויון הם:

[math]\displaystyle{ x\leq -1 }[/math]

ואילו ערכי x שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי השיוויון הם:

[math]\displaystyle{ 1\leq x \lt 2 }[/math]

נסיים במקרה הנותר:

• עבור [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 1 }[/math] אי השיוויון נראה כך:

[math]\displaystyle{ -x^2+1-x+2\gt 4x+5 }[/math]

[math]\displaystyle{ -x^2-5x-2 \gt 0 }[/math]

ערכי x אשר גם נמצאים בתחום וגם מקיימים את אי השיוויון הם:

[math]\displaystyle{ -1\lt x\leq\frac{5-\sqrt{17}}{2} }[/math]

ואילו ערכי x בתחום שאינם מקיימים את אי השיוויון הינם:

[math]\displaystyle{ \frac{5-\sqrt{17}}{2}\lt x\lt 1 }[/math]

סיכום התוצאות

אי השיוויון מתקים עבור ערכי x הבאים:

• [math]\displaystyle{ x\gt \frac{3+\sqrt{41}}{2} }[/math]

• [math]\displaystyle{ x\leq -1 }[/math]

• [math]\displaystyle{ -1\lt x\leq\frac{5-\sqrt{17}}{2} }[/math]