מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2: הבדלים בין גרסאות בדף
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←1) |
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←1) |
||
| שורה 4: | שורה 4: | ||
*<math>tan(x) < 0</math> | *<math>tan(x) < 0</math> | ||
<math>tan(x)={sin(x) \over cos(x)}</math> לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש | <math>tan(x)={sin(x) \over cos(x)}</math> לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא: <math>-{\pi \over 2} + \pi k < x < \pi k</math> | ||
*<math>sin(x)<cos(x)</math> | *<math>sin(x)<cos(x)</math> | ||
מתקיים שוויון כאשר <math>x={\pi \over 4} + \pi k</math>. עד <math>\pi \over 4</math> הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד <math>5\pi \over 4</math> בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של <math>2\pi</math>. לכן אי השוויון מתקיים עבור <math>-{3\pi \over 4}+2\pi k < x < {\pi \over 4} +2\pi k</math> | |||
*<math>e^{sin(x)} < 1</math> | *<math>e^{sin(x)} < 1</math> | ||
נסמן <math>y=sin(x)</math> ונבדוק מתי <math>e^y<1</math>. יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור <math>sin(x)=y<0</math>. מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור <math>-\pi + 2\pi k < x < 2\pi k</math> | |||
גרסה מ־01:42, 13 באוגוסט 2012
1
מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:
- [math]\displaystyle{ tan(x) \lt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ tan(x)={sin(x) \over cos(x)} }[/math] לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא: [math]\displaystyle{ -{\pi \over 2} + \pi k \lt x \lt \pi k }[/math]
- [math]\displaystyle{ sin(x)\lt cos(x) }[/math]
מתקיים שוויון כאשר [math]\displaystyle{ x={\pi \over 4} + \pi k }[/math]. עד [math]\displaystyle{ \pi \over 4 }[/math] הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד [math]\displaystyle{ 5\pi \over 4 }[/math] בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]. לכן אי השוויון מתקיים עבור [math]\displaystyle{ -{3\pi \over 4}+2\pi k \lt x \lt {\pi \over 4} +2\pi k }[/math]
- [math]\displaystyle{ e^{sin(x)} \lt 1 }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ y=sin(x) }[/math] ונבדוק מתי [math]\displaystyle{ e^y\lt 1 }[/math]. יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור [math]\displaystyle{ sin(x)=y\lt 0 }[/math]. מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור [math]\displaystyle{ -\pi + 2\pi k \lt x \lt 2\pi k }[/math]
- [math]\displaystyle{ (sin(x)-cos(x))(sin(x)+(cos(x)) \gt 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ sin \Big(\pi\cdot cos(x)\Big)\gt 0 }[/math]