מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2

1

מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

• [math]\displaystyle{ tan(x) \lt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ tan(x)={sin(x) \over cos(x)} }[/math] לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא: [math]\displaystyle{ -{\pi \over 2} + \pi k \lt x \lt \pi k }[/math]

• [math]\displaystyle{ sin(x)\lt cos(x) }[/math]

מתקיים שוויון כאשר [math]\displaystyle{ x={\pi \over 4} + \pi k }[/math]. עד [math]\displaystyle{ \pi \over 4 }[/math] הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד [math]\displaystyle{ 5\pi \over 4 }[/math] בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]. לכן אי השוויון מתקיים עבור [math]\displaystyle{ -{3\pi \over 4}+2\pi k \lt x \lt {\pi \over 4} +2\pi k }[/math]

• [math]\displaystyle{ e^{sin(x)} \lt 1 }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ y=sin(x) }[/math] ונבדוק מתי [math]\displaystyle{ e^y\lt 1 }[/math]. יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור [math]\displaystyle{ sin(x)=y\lt 0 }[/math]. מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור [math]\displaystyle{ -\pi + 2\pi k \lt x \lt 2\pi k }[/math]

• [math]\displaystyle{ (sin(x)-cos(x))(sin(x)+(cos(x)) \gt 0 }[/math]

נפתח סוגריים ונקבל: [math]\displaystyle{ sin(x)^2-cos(x)^2\gt 0 }[/math]. ניעזר בזהות [math]\displaystyle{ sin(x)^2+cos(x)^2=1 }[/math] ונגיע לאי השוויון: [math]\displaystyle{ 2sin(x)^2-1\gt 0 }[/math]. מכאן נעביר אגפים ונקבל [math]\displaystyle{ sin(x)^2\gt {1 \over 2} }[/math] והפתרון שלו הוא [math]\displaystyle{ sin(x)\gt {\sqrt{2} \over 2} }[/math] או [math]\displaystyle{ sin(x)\lt -{\sqrt{2} \over 2} }[/math]. זה מתקיים עבור: [math]\displaystyle{ {\pi \over 4}+\pi k \lt x \lt {3\pi \over 4} + \pi k }[/math]

• [math]\displaystyle{ sin \Big(\pi\cdot cos(x)\Big)\gt 0 }[/math]

נציב [math]\displaystyle{ y=\pi \cdot cos(x) }[/math] ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור [math]\displaystyle{ 2\pi k \lt y \lt \pi + 2\pi k }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ 2k\lt cos(x)\lt 1+2k }[/math].

אם [math]\displaystyle{ k\gt 0 }[/math]: נקבל [math]\displaystyle{ 2 \lt cos(x) }[/math] וזה לא יתכן.

[math]\displaystyle{ k\lt 0 }[/math]: נקבל [math]\displaystyle{ cos(x)\lt -1 }[/math] וזה גם לא יתכן.

עבור [math]\displaystyle{ k=0 }[/math]: אי השוויון הוא [math]\displaystyle{ 0\lt cos(x)\lt 1 }[/math] וזה מתקיים לכל [math]\displaystyle{ -{\pi \over 2}+2\pi k \lt x \lt {\pi \over 2} + 2\pi k }[/math]

2

הוכח:

• [math]\displaystyle{ \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} }[/math]

• [math]\displaystyle{ |z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2| }[/math]

• [math]\displaystyle{ Re(z)= \frac{z+\overline{z}}{2} }[/math]

• [math]\displaystyle{ Im(z)= \frac{z-\overline{z}}{2} }[/math]