חקירת פונקציות

נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):

1. תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
2. זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
3. תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
4. תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
5. אסימפטוטות מאונכות
6. נקודות חיתוך עם הצירים
7. אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
8. תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה

הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות

תרגילים

דוגמא מספר 1 - [math]\displaystyle{ f(x)=x^{2}-6x+5 }[/math]

תחום הגדרה

הגדרה: [math]\displaystyle{ תהא f(x) }[/math] פונקציה. תחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] היא A- אוסף כל הנקודות בהם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת

דוגמא: תחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] הוא כל הישר [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]

זוגיות/אי זוגיות

הגדרה: [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] תקרא זוגית אם [math]\displaystyle{ f(x)=f(-x) }[/math] הגדרה: [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] תקרא אי זוגית אם [math]\displaystyle{ f(x)=-f(-x) }[/math]

דוגמא: [math]\displaystyle{ f(-x)=x^{2}+6x+5\not=\,\pm\, f(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] אינה זוגית ואינה אי זוגית

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר x הן הנקודות [math]\displaystyle{ (1,0).(5.0) }[/math]

החיתוך עם ציר y היא הנקודה [math]\displaystyle{ (0,5) }[/math]

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

הגדרה: תהא [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]פונקציה. נאמר ש [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] עולה (יורדת) בתחום [math]\displaystyle{ U }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall x\lt y\in U:\, f(x)\leq f(y) }[/math] ([math]\displaystyle{ \forall x\lt y\in U:\, f(x)\geq f(y) }[/math])

הגדרה: תהא [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] פונקציה. [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה [math]\displaystyle{ U }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \forall x\in U:f(x)\leq f(x_{0}) }[/math] (או [math]\displaystyle{ \forall x\in U:f(x)\geq f(x_{0}) }[/math] )

משפט: אם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] גזירה בנקודת קיצון [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f'(x_{0})=0 }[/math]

מסקנה: בשביל למצוא נקודות קיצון של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מספיק לבדוק מתי [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math] או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.

דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ f'(x)=2x-6 }[/math] ולכן הנקודה החשודה היחידה היא [math]\displaystyle{ x_{0}=3 }[/math]

מקס' או מיני'

איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?

• בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב [math]\displaystyle{ f(0)=5\,,f(3)=-4,f(6)=5 }[/math]

ולכן 3 נקודת מיני הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.

• בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (

מסתמך על העובדה כי : אם [math]\displaystyle{ f'(x)\leq0 }[/math] בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם [math]\displaystyle{ f'(x)\geq0 }[/math] אז הפונקציה עולה שם): [math]\displaystyle{ f'(0)\lt 0\,,f'(4)\gt 0 }[/math] ולכן משמאל ל 3 הפונקציה יורדת ומימין ל 3 היא עולה ולכן 3 נקודות מיני'הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של [math]\displaystyle{ f }[/math] הוא [math]\displaystyle{ [3.\infty) }[/math] ותחום הירידה [math]\displaystyle{ (-\infty,3] }[/math]

הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.

• מבחן הנגזרת השניה- אם [math]\displaystyle{ f'(x_{0})=0 }[/math]

ומתקיים [math]\displaystyle{ f"(x_{0})\gt 0 }[/math] (או [math]\displaystyle{ f"(x)\lt 0 }[/math] ) אז [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] נקודות מיני' (או מקס'):

אצלנו [math]\displaystyle{ f"(x)=2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f"(2)\gt 0 }[/math]

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

תהא [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] גזירה בנקודה [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] אזי נאמר שהפונצקיה קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] אם קיימת סביבה [math]\displaystyle{ U }[/math]של [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}) }[/math]

([math]\displaystyle{ f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}) }[/math])

נאמר ש [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] נקודת פיתול אם קיימת סביבה [math]\displaystyle{ U }[/math] ימנית בה [math]\displaystyle{ f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}) }[/math] וסביבה שמאלית [math]\displaystyle{ V }[/math] בה [math]\displaystyle{ f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}) }[/math] או להיפך.

משפט: [math]\displaystyle{ f"(x_{0})\gt 0 }[/math] [math]\displaystyle{ (f"(x_{0})\lt 0) }[/math] אז [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-[math]\displaystyle{ x_{0} }[/math]

משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם [math]\displaystyle{ f"(x) }[/math] אינה קיימת או ש [math]\displaystyle{ f"(x)=0 }[/math]

דוגמא: [math]\displaystyle{ f"(x)=2 }[/math] ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.

אסימטוטות

הגדרה: אסימטוטה אנכית ל [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] היא קו מהצורה [math]\displaystyle{ x=a }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ lim_{x\to a}|f(x)|=\infty }[/math] אצלנו אין אסימטוטה אנכית.

הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר [math]\displaystyle{ l(x)=ax+b }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0 }[/math]

איך מוצאים ? מתקיים

[math]\displaystyle{ a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} }[/math]

ואז [math]\displaystyle{ b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax) }[/math]

דוגמא- אצלנו:

[math]\displaystyle{ a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\infty }[/math]y ולכן אין אסימטוטה אופקית

התנהגות הפונצקיה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו [math]\displaystyle{ lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty }[/math]

ציור הפונקציה

דוגמא 2: [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{\ln(x)}{x} }[/math]

תחום הגדרה

[math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math]כי [math]\displaystyle{ \ln(x) }[/math] לא מוגדרת עבור [math]\displaystyle{ x }[/math]-ים שליליים.

זוגיות/אי זוגיות

לא שייך בגלל תחום ההגדרה.

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר [math]\displaystyle{ x }[/math] הוא [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math]

החיתוך עם ציר y לא קיים בגלל תחום ההגדרה

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

[math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}} }[/math] לכן יש לה נקודה חשודה ב [math]\displaystyle{ x=e }[/math]

הסימן של [math]\displaystyle{ f" }[/math] נקבע ע"י [math]\displaystyle{ -x-2x(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x)) }[/math]

[math]\displaystyle{ f(e)\lt 0 }[/math] ולכן זוהי נקודת מקס'

תחומי העלייה של הפונקציה [math]\displaystyle{ \left(0,e\right) }[/math]

תחומי ירידה [math]\displaystyle{ \left(e,\infty\right) }[/math]

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

הסימן של [math]\displaystyle{ f" }[/math] נקבע ע"י [math]\displaystyle{ -x(3-2\ln(x)) }[/math] ולכן נקודות חשודות לפיתול הם [math]\displaystyle{ e^{3/2} }[/math]

[math]\displaystyle{ f"(e)\lt 0,f"(e^{4})\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ e^{3/2}\approx10 }[/math] נקודת פיתול

הפונקציה קעורה כלפי מטה ב [math]\displaystyle{ \left(0,e^{3/2}\right) }[/math]

הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב [math]\displaystyle{ \left(e^{3/2},\infty\right) }[/math]

אסימטוטות

אסימטוטה אנכית ב [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] כיוון ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty }[/math]

אסימטוטה אופקית: [math]\displaystyle{ a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}=lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0 }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ l(x)=0 }[/math] אסימטוטה אופקית

התנהגות הפונצקיה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו [math]\displaystyle{ lim_{x\to\infty}f(x)=0 }[/math]

ציור הפונקציה

דוגמא 3: [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} }[/math]

תחום הגדרה

תחום ההגדרה של הוא [math]\displaystyle{ x\not=\pm\sqrt{12} }[/math]

זוגיות/אי זוגיות

[math]\displaystyle{ f(-x)=\frac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] אי זוגית

נקודות קיצון

[math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}} }[/math] ולכן הנקודות החשודות הן [math]\displaystyle{ x_{0}=0,\pm6,\pm\sqrt{12} }[/math] (נשים לב שהנקודות [math]\displaystyle{ \pm\sqrt{12}=\pm3.464 }[/math]) אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה.

מקס' או מיני'

נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של [math]\displaystyle{ 36-x^{2} }[/math] [math]\displaystyle{ f'(-7)\lt 0,f'(-6)=0,f'(-4)\gt 0,f'(-1)\gt 0,f'(0)=0,f'(1)\gt 0,f'(4)\gt -,f'(6)=0,f'(7)\lt 0 }[/math] ולכן מימין ל [math]\displaystyle{ -6 }[/math] הפונקציה יורדת ומימין ל [math]\displaystyle{ -6 }[/math] היא עולה ולכן [math]\displaystyle{ -6 }[/math] נקודות מיני'

6 נקודת מקס

0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין ל-0 וגם משמאל

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

דוגמא: [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}} }[/math]

ו [math]\displaystyle{ f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}} }[/math]

הנקודות החשודות לפיתלול הם [math]\displaystyle{ 0,\pm\sqrt{12} }[/math] הסימן של [math]\displaystyle{ f"(x) }[/math] נקבע לפי החלק [math]\displaystyle{ x(12-x^{2}) }[/math]

נבדוק [math]\displaystyle{ f"(-4)\gt 0,f"(-1)\lt 0,f(0)=0,f(1)\gt 0,f(4)\lt 0 }[/math] ומכאן מסיקים כי

בקטע [math]\displaystyle{ (-\infty,-\sqrt{12}) }[/math] הפונצקיה קעורה כלפי מעלה

בקטע [math]\displaystyle{ (-\sqrt{12},0) }[/math] הפונצקיה קעורה כלפי מטה

בקטע [math]\displaystyle{ (0,\sqrt{12}) }[/math] הפונצקיה קעורה כלפי מעלה

בקטע [math]\displaystyle{ (\sqrt{12},\infty) }[/math] הפונצקיה קעורה כלפי מטה

ובנקודה 0 יש נקודות פיתול(כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה)

אסימטוטות

ל- [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} }[/math] יש 2 אסימטוטות אנכיות ב [math]\displaystyle{ x=\pm\sqrt{12} }[/math]

כי [math]\displaystyle{ lim_{x\to-\sqrt{12}^{+}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{+}}f(x)=-\infty }[/math]

[math]\displaystyle{ lim_{x\to-\sqrt{12}^{-}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{-}}f(x)=\infty }[/math]

אסימטוטה אופקית:

[math]\displaystyle{ a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x(12-x^{2})}=-1 }[/math]

[math]\displaystyle{ b=lim_{x\to\infty}(\frac{x^{3}}{12-x^{2}}+x)=lim_{x\to\infty}(\frac{12x}{12-x^{2}})=0 }[/math]

באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון [math]\displaystyle{ x\to-\infty }[/math] תצא אותו דבר.

ולכן [math]\displaystyle{ l(x)=-x }[/math] אסימטוטה אופקית לשני הצדדים

התנהגות הפונצקיה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו [math]\displaystyle{ lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty }[/math]

ציור הפונקציה

משפטים לסיכום

[math]\displaystyle{ .1 }[/math] אם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] גזירה בנקודת קיצון x_{0} אזי [math]\displaystyle{ f'(x_{0})=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ .2 }[/math] מבחן הנגזרת השניה- אם [math]\displaystyle{ f'(x_{0})=0 }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ f"(x_{0})\gt 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] נקודות מיני'

[math]\displaystyle{ .3 }[/math] אם [math]\displaystyle{ f'(x)\leq0 }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] אזי הפונקציה יורדת שם. אם [math]\displaystyle{ f'(x)\geq0 }[/math] אז הפונקציה עולה שם

[math]\displaystyle{ .4 }[/math] אם [math]\displaystyle{ f"(x_{0})\gt 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] קעורה כלפי מעלה ב-[math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם [math]\displaystyle{ f"(x) }[/math] אינה קיימת או ש [math]\displaystyle{ f"(x)=0 }[/math]