89-214 סמסטר א' תשעה

89-214 מבנים אלגבריים

קישורים

• שאלות ותשובות

• תרגילים

• מערכי תירגול

הודעות כלליות

ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים!

לקבוצה של שירה: יתכן והתרגול של 07/01 יתבטל. נא להתעדכן!

השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו')

תרגיל. תהי [math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה מסדר [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] ([math]\displaystyle{ p }[/math] ראשוני). הראו כי [math]\displaystyle{ |Z(G)|\neq p }[/math].

פתרון. נניח בשלילה כי [math]\displaystyle{ |Z(G)|=p }[/math]. מכיוון שזו חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית, כלומר קיים [math]\displaystyle{ a \in Z(G) }[/math] שיקיים [math]\displaystyle{ \lt a\gt =Z(G) }[/math]. בנוסף, משיקולי עוצמה, קיים איבר [math]\displaystyle{ b \in G-Z(G) }[/math]. ננסה להראות כי [math]\displaystyle{ b }[/math] הזה מתחלף עם כל איברי [math]\displaystyle{ G }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ b\in Z(G) }[/math], ובסתירה לבחירת [math]\displaystyle{ b }[/math].

ראשית, נשים לב לכך שהסדר של [math]\displaystyle{ b }[/math] הוא [math]\displaystyle{ p }[/math]; אילו הסדר היה [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] אז [math]\displaystyle{ b }[/math] היה יוצר של כל [math]\displaystyle{ G }[/math], ואילו הסדר היה [math]\displaystyle{ 1 }[/math] אז הוא היה איבר היחידה. הסדר של [math]\displaystyle{ a }[/math] גם הוא [math]\displaystyle{ p }[/math], באופן ברור.

כעת, נביט בקבוצה [math]\displaystyle{ H=\lt a,b\gt =\{a^i b^j | 0 \le i,j \le p-1\} }[/math]. נראה כי [math]\displaystyle{ H }[/math] היא קבוצה מעוצמה [math]\displaystyle{ p^2 }[/math]: נניח כי קיימים [math]\displaystyle{ (i,j)\neq(i',j') }[/math] עבורם [math]\displaystyle{ {a^i}{b^j}={a^{i'}}{b^{j'}} }[/math]. על ידי בידוד איברים, נקבל [math]\displaystyle{ a^{i-i'}=b^{j'-j} }[/math], והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים [math]\displaystyle{ e }[/math], ובסתירה להנחה [math]\displaystyle{ (i,j)\neq(i',j') }[/math]. אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת [math]\displaystyle{ H }[/math] היא [math]\displaystyle{ p^2 }[/math].

ברור ש-[math]\displaystyle{ H\subseteq G }[/math], ולפי שויון עוצמות סופיות, [math]\displaystyle{ H=G }[/math]. לכן כל איבר ב-[math]\displaystyle{ G }[/math] ניתן לרשום בתור [math]\displaystyle{ a^ib^j }[/math]. (עד כאן היה בשיעור.) נבדוק האם [math]\displaystyle{ b \cdot a^ib^j=a^ib^j \cdot b }[/math].

ראשית, נזכיר כי [math]\displaystyle{ ab=ba }[/math], כי [math]\displaystyle{ a\in Z(G) }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ b\cdot a^i=b\cdot a\cdot a^{i-1}=a\cdot b\cdot a^{i-1} }[/math]. נחזור על הטיעון [math]\displaystyle{ i }[/math] פעמים, ונקבל [math]\displaystyle{ b\cdot a^i=a^i\cdot b }[/math]. כמו כן, ברור כי [math]\displaystyle{ b\cdot b^j=b^j\cdot b }[/math]. ביחד, נקבל [math]\displaystyle{ b\cdot a^ib^j=a^i\cdot b \cdot b^j = a^ib^j\cdot b }[/math], כנדרש. מצאנו אפוא כי [math]\displaystyle{ b\in Z(G) }[/math], ובסתירה לדרך שבה בחרנו את [math]\displaystyle{ b }[/math].

תרגיל. תהי [math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה מסדר [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] ([math]\displaystyle{ p }[/math] ראשוני). הראו כי היא חבורה אבלית.

פתרון. לפי התרגיל הקודם, [math]\displaystyle{ |Z(G)|\neq p }[/math]. לפי נוסחת המחלקות, [math]\displaystyle{ |Z(G)|\neq 1 }[/math] (הראנו בכיתה). לפי לגרנז', [math]\displaystyle{ |Z(G)| \mid p^2 }[/math], וביחד נקבל [math]\displaystyle{ |Z(G)|= p^2 }[/math]. אם כן, משויון עוצמת קבוצות סופיות, [math]\displaystyle{ Z(G)=G }[/math], ו-[math]\displaystyle{ G }[/math] אבלית.