89-214 סמסטר א' תשעה

89-214 מבנים אלגבריים

קישורים

• שאלות ותשובות

• תרגילים

• מערכי תירגול

הודעות כלליות

ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים!

ציוני תרגיל סופיים מפורסמים בדף התרגילים. ערעורים יתקבלו עד יום חמישי, אצל שירה במייל.

השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו')

תרגיל. תהי [math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה מסדר [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] ([math]\displaystyle{ p }[/math] ראשוני). הראו כי [math]\displaystyle{ |Z(G)|\neq p }[/math].

פתרון. נניח בשלילה כי [math]\displaystyle{ |Z(G)|=p }[/math]. מכיוון שזו חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית, כלומר קיים [math]\displaystyle{ a \in Z(G) }[/math] שיקיים [math]\displaystyle{ \lt a\gt =Z(G) }[/math]. בנוסף, משיקולי עוצמה, קיים איבר [math]\displaystyle{ b \in G-Z(G) }[/math]. ננסה להראות כי [math]\displaystyle{ b }[/math] הזה מתחלף עם כל איברי [math]\displaystyle{ G }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ b\in Z(G) }[/math], ובסתירה לבחירת [math]\displaystyle{ b }[/math].

ראשית, נשים לב לכך שהסדר של [math]\displaystyle{ b }[/math] הוא [math]\displaystyle{ p }[/math]; אילו הסדר היה [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] אז [math]\displaystyle{ b }[/math] היה יוצר של כל [math]\displaystyle{ G }[/math], ואילו הסדר היה [math]\displaystyle{ 1 }[/math] אז הוא היה איבר היחידה. הסדר של [math]\displaystyle{ a }[/math] גם הוא [math]\displaystyle{ p }[/math], באופן ברור.

כעת, נביט בקבוצה [math]\displaystyle{ H=\lt a,b\gt =\{a^i b^j | 0 \le i,j \le p-1\} }[/math]. נראה כי [math]\displaystyle{ H }[/math] היא קבוצה מעוצמה [math]\displaystyle{ p^2 }[/math]: נניח כי קיימים [math]\displaystyle{ (i,j)\neq(i',j') }[/math] עבורם [math]\displaystyle{ {a^i}{b^j}={a^{i'}}{b^{j'}} }[/math]. על ידי בידוד איברים, נקבל [math]\displaystyle{ a^{i-i'}=b^{j'-j} }[/math], והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים [math]\displaystyle{ e }[/math], ובסתירה להנחה [math]\displaystyle{ (i,j)\neq(i',j') }[/math]. אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת [math]\displaystyle{ H }[/math] היא [math]\displaystyle{ p^2 }[/math].

ברור ש-[math]\displaystyle{ H\subseteq G }[/math], ולפי שויון עוצמות סופיות, [math]\displaystyle{ H=G }[/math]. לכן כל איבר ב-[math]\displaystyle{ G }[/math] ניתן לרשום בתור [math]\displaystyle{ a^ib^j }[/math]. (עד כאן היה בשיעור.) נבדוק האם [math]\displaystyle{ b \cdot a^ib^j=a^ib^j \cdot b }[/math].

ראשית, נזכיר כי [math]\displaystyle{ ab=ba }[/math], כי [math]\displaystyle{ a\in Z(G) }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ b\cdot a^i=b\cdot a\cdot a^{i-1}=a\cdot b\cdot a^{i-1} }[/math]. נחזור על הטיעון [math]\displaystyle{ i }[/math] פעמים, ונקבל [math]\displaystyle{ b\cdot a^i=a^i\cdot b }[/math]. כמו כן, ברור כי [math]\displaystyle{ b\cdot b^j=b^j\cdot b }[/math]. ביחד, נקבל [math]\displaystyle{ b\cdot a^ib^j=a^i\cdot b \cdot b^j = a^ib^j\cdot b }[/math], כנדרש. מצאנו אפוא כי [math]\displaystyle{ b\in Z(G) }[/math], ובסתירה לדרך שבה בחרנו את [math]\displaystyle{ b }[/math].

תרגיל. תהי [math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה מסדר [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] ([math]\displaystyle{ p }[/math] ראשוני). הראו כי היא חבורה אבלית.

פתרון. לפי התרגיל הקודם, [math]\displaystyle{ |Z(G)|\neq p }[/math]. לפי נוסחת המחלקות, [math]\displaystyle{ |Z(G)|\neq 1 }[/math] (הראנו בכיתה). לפי לגרנז', [math]\displaystyle{ |Z(G)| \mid p^2 }[/math], וביחד נקבל [math]\displaystyle{ |Z(G)|= p^2 }[/math]. אם כן, משויון עוצמת קבוצות סופיות, [math]\displaystyle{ Z(G)=G }[/math], ו-[math]\displaystyle{ G }[/math] אבלית.