המשפט היסודי של החדוא

המשפט היסודי של החדו"א

המשפט היסודי של החדו"א, או משפט ניוטון-לייבניץ, נותן דרך לחישוב האינטגרל המסוים, ולמעשה, מראה את הקשר ההדוק הקיים בין האינטגרל המסוים לבין האינטגרל הלא-מסוים.

הניסוח:

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה אינטגרבילית על הקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ונגדיר [math]\displaystyle{ F(x):=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t }[/math]. אזי:

• הפונקציה [math]\displaystyle{ F }[/math] רציפה.
• בכל נקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] שבה [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה, [math]\displaystyle{ F }[/math] גזירה, וכן [math]\displaystyle{ F'\left(x_0\right)=f\left(x_0\right) }[/math].

מסקנה מהמשפט היא שאם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה, הפונקציה [math]\displaystyle{ F }[/math] שהגדרנו היא פונקציה קדומה שלה (ובפרט, יש ל-[math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה קדומה).

אם הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה, מקבלים את נוסחת ניוטון-לייבניץ: אם [math]\displaystyle{ F }[/math] פונקציה קדומה של [math]\displaystyle{ f }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a) }[/math].